Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Hetedik alkalom

Legyen V vektortér a T test felett. A λ_{1}v_{1} + ⋯ + λ_{n}v_{n} összeget a v_{1}, …, v_{n} ∈ V vektorok λ_{1}, …, λ_{n} ∈ T -beli együtthatós lineáris kombinációjának nevezzük. Ez a lineáris kombináció triviális, ha mindegyik együttható nulla. A v_{1}, …, v_{n} ∈ V vektorrendszert lineárisan függetlennek nevezzük, ha csak a triviális lineáris kombinációjuk adja a nullvektort.

1. Adjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszerek általános megoldását. Az első egyenletrendszer mely megoldásában minimális az ismeretlenek négyzetösszege?

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & + & 6 & z & = & 14 \\ −3 & x & & & & + & 2 & z & = & 3 \\ & x & − & 6 & y & + & 14 & z & = & 31 \end{aligned}  \begin{aligned}HF: & & x & − & y & + & z & + & & t & = & 2 \\ & −3 & x & & & & & + & 3 & t & = & 0 \\ & −2 & x & − & y & + & z & + & 4 & t & = & 2 \\ & 4 & x & − & y & + & z & − & 2 & t & = & 2 \end{aligned}

2. Tekintsünk egy n ismeretlenes, m egyenletből álló, ℝ feletti lineáris egyenletrendszert, melynek t (valós) megoldása van (t = ∞ is lehetséges). Töltsük ki az alábbi táblázatokat: I jelentse azt, hogy ilyen eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem.

Általános  t = 0  t = 1  t = ∞

n < m n = m n > m

Homogén  t = 0  t = 1  t = ∞ n < m n = m n > m

3. Ha egy ℚ feletti homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális komplex megoldása, akkor hány racionális megoldása van? Ha egy ℝ feletti lineáris egyenletrendszernek van komplex, nem valós megoldása, akkor hány valós megoldása van?

4. Adott n szám úgy, hogy közülük bármely n − 1 összege 1997. Melyek ezek a számok? HF: adott a ≠ b számok esetén oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

a x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + b x_{n} = 1
a x_{1} + a x_{2} + … + b x_{n−1} + a x_{n} = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + a x_{n} = n

5. Egy n-szög csúcsaira számokat akarunk úgy írni, hogy bármelyik csúcsból induljunk is el a sokszög mentén, a sorra következő m szám összege 1 legyen. Mely m és n értékek esetén lehetséges ez úgy, hogy valamelyik csúcsra 1/m-től különböző szám kerüljön?

6. Az ℝ feletti ℝ[x] vektortérben lineárisan függetlenek-e az alábbi polinomrendszerek: {1, x, x^{2}}, {1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x}, {1 + x, 1 + x^{2}, x + x^{2}}, {x, 2x, x^{2}, x^{3}}.

7^{∗}. Meg lehet-e adni ℝ^{n}-ben végtelen sok vektort úgy, hogy közülük bármely n lineárisan független legyen?