Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Hatodik alkalom

A ℤ_{m}^{+} csoport elemei a 0, …, m−1, a művelet az összeadás modulo m. A ℤ_{m}^{×} csoport elemei a 0, …, m − 1 közül az m-hez relatív prímek, a művelet a szorzás modulo m. A csoport elemeinek a száma φ(m), ez az Euler-függvény. Ebben a csoportban a g elem rendjét o_{m}(g) jelöli. Ezt a jelölést kiterjesztjük minden m-hez relatív prím h-ra úgy, hogy g ≡ h (m) esetén legyen o_{m}(h) = o_{m}(g). Általános csoportban a g elem rendjét |g| jelöli.

1. Döntsük el, melyek egységgyökök az alábbi számok közül. Mennyi ezek rendje?

1 , −1 , i , 1 + i , (1 + i)/\sqrt{2} , cos(\sqrt{2}π) + i sin(\sqrt{2}π) , cos(336^{∘}) + i sin(336^{∘}) .

Mely n-ekre lesznek ezek a számok n-edik egységgyökök? És primitív n-edik egységgyökök? Írjuk fel az összes komplex 24-ik egységgyököt, és határozzuk meg ezek rendjét.

2. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, mennyi lehet −iε rendje?

3. Számítsuk ki a Φ_{n}(x) körosztási polinomot, ahol n = 12 illetve tetszőleges prímhatvány.

4. Határozzuk meg a ℤ_{m}^{+} illetve ℤ_{m}^{×} csoportok elemeinek a rendjeit, ahol m = 7, 8, 12.

5. Legyenek a, n, m pozitív egészek, és d = (a^{n}−1, a^{m}−1). Mutassuk meg, hogy o_{d}(a) | n, és hogy (a^{n} − 1, a^{m} − 1) = a^{(n,m)} − 1.

6. Legyen G csoport és g ∈ G. Igazoljuk az alábbiakat.

a) |g^{k}| = |g|/(|g|, k).

b) Ha G elemszáma véges, és legalább 2, akkor G-ben van prímrendű elem.

c) g akkor és csak akkor hatványa g^{k}-nak, ha (|g|, k) = 1.

További gyakorló feladatok

7. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan, akkor Φ_{2n}(x) = Φ_{n}(−x).

8. Az alábbi csoportokban határozzuk meg az elemek rendjeit.

a) Egy olyan rombusz szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

b) Egy négyzet szimmetriacsoportja.

c) Egy szabályos háromszög szimmetriacsoportja.

d) Egy szabályos tetraéder szimmetriacsoportja.

e) Egy kocka szimmetriacsoportja.

f) Egy kocka mozgáscsoportja (mozgás = irányítástartó egybevágóság).

9. Legyen G a sík egybevágósági transzformációinak csoportja a kompozícióra, és t_{1}, t_{2} két olyan tengelyes tükrözés, melyek tengelyei α szöget zárnak be. Igazoljuk, hogy t_{1}t_{2} rendje n, ha π/α = n ∈ ℤ, és végtelen, ha π/α irracionális szám.

10. Legyenek m és n pozitív egészek.

a) Igazoljuk, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

b) Mutassuk meg, hogy ha a G kommutatív csoport két elemének rendje relatív prím, akkor szorzatuk rendje a rendek szorzata. Szükséges-e a rendekre adott feltétel?

11. Igazoljuk, hogy ha d | m, akkor ℤ_{m}^{+}-ban pontosan φ(d) darab d rendű elem van.

12. Igazoljuk, hogy ha n ≥ 3, akkor a ℤ_{2^{n}}^{×} csoportban legalább két másodrendű elem van.