Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Ötödik alkalom

Ezen a feladatsoron az n határozatlanú, k-adfokú elemi szimmetrikus polinomok jele

σ_{k} = ∑_{1≤i_{1}<i_{2}<···<i_{k}≤n} x_{i_{1}} … x_{i_{k}} .

1. Mely b ∈ ℂ értékekre lesz az x^{n} + bx^{k} + 1 polinomnak háromszoros gyöke?

2. Lehet-e egy irreducibilis polinomnak többszörös gyöke ℚ illetve ℤ_{2} felett?

3. Adjunk meg egy olyan polinomot egy alkalmas test felett, melynek van olyan nyolcszoros u gyöke, hogy u a polinom deriváltjának is (pontosan) nyolcszoros gyöke. Igaz-e tetszőleges test felett, hogy ha egy elem egy polinomnak egyszeres gyöke, akkor a deriváltjának biztosan nem gyöke?

4. Határozzuk meg az x^{n} + x + 1 polinom (komplex) gyökeinek köbösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét (n ≥ 2).

5. Legyenek a, b, c az x^{3} + 3x + 1 polinom gyökei. Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek gyökei a^{2}, b^{2}, c^{2}, illetve a + b, a + c, b + c.

További gyakorló feladatok

6. Legyen f valós együtthatós polinom, mely minden valós helyen pozitív értéket vesz fel. Mutassuk meg, hogy f előáll két valós együtthatós polinom négyzetösszegeként.

7. Igazoljuk, hogy az f(x) = (x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) − 1 polinom irreducibilis ℤ felett, ha a_{1}, …, a_{n} páronként különböző egész számok.

8. Írjuk fel az elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként a következő összeget:

∑_{1≤i≠j≤n} x_{i}^{2}x_{j} .

9^{∗}. Az n-edfokú f ∈ ℂ[x] polinomnak nincs többszörös gyöke. Lehet-e legalább n-szeres gyöke az [f′]^{2} − ff′′ polinomnak?

Eredmények, ötletek

4. A reciprokösszeg −1, a köbösszeg n ≥ 3 esetén 3σ_{3} + σ_{1}^{3} − 3σ_{1}σ_{2}, vagyis az eredmény n = 2-re 2, n = 3-ra és 4-re −3, n ≥ 5-re 0.

5. x^{3} − 6x^{2} + 9x − 1 illetve x^{3} + 3x − 1.

8. σ_{1}σ_{2} − 3σ_{3}.

9. Ha u gyöke [f′]^{2} − ff′′-nek, akkor deriváljuk le az f′(x)/f(x) − f′(u)/f(u) racionális törtfüggvényt.