Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Negyedik alkalom

Egy egész együtthatós polinom primitív, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1. Gauss lemmája szerint két primitív polinom szorzata is primitív. Ennek következménye, hogy egy egész együtthatós polinom akkor és csak akkor felbonthatatlan ℤ[x]-ben, ha vagy konstans prímszám, vagy primitív, és irreducibilis ℚ felett.

A Schönemann-Eisenstein irreducibilitási kritérium azt mondja ki, hogy ha f egész együtthatós, nem konstans polinom, és van olyan p prímszám, mely osztja f minden együtthatóját a főegyüttható kivételével (amit nem oszt), és p^{2} nem osztja f konstans tagját, akkor f irreducibilis ℚ felett.

Ha p/q racionális gyöke az a_{n}x^{n}+⋯+a_{0} egész együtthatós polinomnak, ahol (p, q) = 1, akkor p | a_{0} és q | a_{n}. Ennek alapján eldönthető a másod- és harmadfokú egész együtthatós polinomokról, hogy irreducibilisek-e ℚ felett. További ötletek az irreducibilitás eldöntésére:

– f akkor és csak akkor irreducibilis, ha egy eltoltja (f(x + c)) az.

– Ha f ∈ ℤ[x], akkor vizsgáljuk modulo p, ahol p prímszám.

– Bontsuk fel a polinomot egy nagyobb testben, és használjuk a felbontás egyértelműségét.

1. Mutassuk meg, hogy ℤ[x]-ben azok a polinomok, amelyeknek a konstans tagja páros, ideált alkotnak, ami nem főideál.

2. Irreducibilis-e x^{4} + 4 illetve x^{4} + 9 a ℚ felett?

3. Írjuk fel az összes másodfokú polinomot ℤ_{2} felett. Melyek lesznek irreducibilisek? Határozzuk meg a legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomokat ℤ_{2} felett.

4. Bontsuk ℤ[x]-ben felbonthatatlanok szorzatára a 30x^{3} + 24 és 10x^{6} + 15x + 6 polinomokat.

5. Bizonyítsuk be, hogy ha p prím, akkor 1 + x + ⋯ + x^{p−1} irreducibilis ℚ felett.

6. A 6x^{4} − 9x + 1 polinomot modulo 3 vizsgálva igazoljuk, hogy irreducibilis ℚ felett. A kapott gondolatmenetet próbáljuk meg általánosítani.

További gyakorló feladatok

7. Bizonyítsuk be az egész együtthatós polinomok racionális gyökeiről szóló fenti állítást.

8. Irreducibilis-e x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1 a ℚ test felett?

9. Legyen f(x) = (x−\sqrt{2}−\sqrt{3})(x−\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}−\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3}) = x^{4} −10x^{2} +1. Mutassuk meg, hogy f irreducibilis ℚ felett, de (^{∗}) minden p prímre reducibilis ℤ_{p} felett.

10. Legyen f ∈ ℤ[x] egy n-edfokú polinom, ahol n ≥ 1, p egy prímszám, és 0 < k < n. Legyen \overline{f} ∈ ℤ_{p}[x] az f modulo p véve. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha f irreducibilis ℤ felett, akkor \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett.

b) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℤ felett.

c) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℚ felett.

d) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, és \overline{f} foka n, akkor f irreducibilis ℚ felett.

e) Ha f-nek van ℤ felett k-adfokú tényezője, akkor \overline{f}-nak is van k-adfokú tényezője.

f) Az előző állítás akkor, ha azt is tudjuk, hogy \overline{f} foka n.