Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Második alkalom

1. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek négyzete 20i − 21. Oldjuk meg az x^{2} + (i − 2)x + (6 − 6i) = 0 egyenletet.

2. Adjuk meg az x^{4} + 1 = 0 egyenlet összes komplex gyökét.

3. Számítsuk ki az n-edik komplex egységgyökök összegét és szorzatát.

4. Bizonyítsuk be, hogy x^{n} − 1 = (x − ε_{1}) … (x − ε_{n}), ahol ε_{1}, …, ε_{n} az n-edik egységgyökök. Határozzuk meg ennek alapján az egységsugarú körbe írt szabályos sokszög egy rögzített csúcsától a többi csúcshoz vezető szakaszok hosszának szorzatát.

5. Fejezzük ki az ötödik egységgyököket racionális számokból és az i-ből kiindulva, a négy alapművelet és négyzetgyökvonás segítségével.

6. Legyen ε egy n-edik egységgyök. Számítsuk ki a

∑_{j=1}^{n} jε^{j−1}

összeget.

7^{∗∗}. Igazoljuk, hogy 2n − 1 egész szám között mindig kiválasztható n, melyek összege osztható n-nel.

Megoldás az I/8. feladatra. Legyenek a háromszög csúcsai A, B, C, ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, η = cos 60^{∘}+i sin 60^{∘}. A szabályos hatszög felrajzolásából látjuk, hogy η = 1+ε. Ha X jelöli az AB oldalra kifelé rajzolt szabályos háromszög középpontját, akkor az \overrightarrow{XB} vektort 120 fokkal elforgatva az \overrightarrow{Y B} adódik, azaz (B − X)ε = A − X, ahonnan

X = \frac{A − Bε}{1 − ε} , és hasonlóan Y = \frac{B − Cε}{1 − ε} , Z = \frac{C − Aε}{1 − ε} .

Azt kell belátni, hogy az \overrightarrow{XY} vektort 60^{∘}-kal elforgatva az \overrightarrow{XZ}-t kapjuk, azaz (Y − X)η = (Z − X). A fentieket behelyettesítve és 1 − ε-nal szorozva:

((B − Cε) − (A − Bε)) η = (C − Aε) − (A − Bε) .

Beírva, hogy η = 1 + ε, és átrendezve

A((−1 − ε + ε + 1) + B(1 + ε + ε(1 + ε) − ε) + C(−ε(1 + ε) − 1) = 0 .

Ez pedig teljesül, mert 1 + ε + ε^{2} = 0 (mint a hatszögről leolvasható), és így A, B és C együtthatója is nulla.