Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Tizedik alkalom

Egy vektorrendszer rangja az általa generált altér dimenziója, azaz a rendszerben található maximális független részrendszerek elemszáma. Egy lineáris leképezés rangja a képterének a dimenziója, ez megegyezik tetszőleges bázispárban felírt mátrixában az oszlopok (illetve a sorok) által alkotott vektorrendszer rangjával.

Ha V vektortér egy T test felett, akkor a V duális tere V^{∗} = Hom(V, T). Ha adott V -ben egy e_{i} (i ∈ I) bázis, akkor legyen e_{i}^{∗} ∈ V^{∗} az a leképezés, ami e_{i}-t 1-be (a T egységelemébe) viszi, a többi e_{j}-t pedig nullába. Ha I véges, akkor e_{i}^{∗} (i ∈ I) maga is bázis lesz V^{∗}-ban (ez a duális bázis), de általában nem. Az e_{i} → e_{i}^{∗} leképezés az előírhatósági tétel miatt egyértelműen kiterjeszthető egy V → V^{∗} lineáris leképezéssé, amelynél tehát egy v = ∑_{i∈I} λ_{i}e_{i} ∈ V elem képe az a v^{∗} leképezés, amely a w = ∑_{i∈I} μ_{i}e_{i} vektort a ∑_{i∈I} λ_{i}μ_{i} skalárba viszi.

A Hom(T, V) vektortér végtelen dimenziós V esetén is izomorf V -vel. A megfeleltetést az a v ↦ ṽ leképezés adja, amelyre ṽ(λ) = λv. Végül v ∈ V esetén jelölje v̂ ∈ (V^{∗})^{∗} azt az elemet, melyre tetszőleges f ∈ V^{∗} esetén v̂(f) = f(v). Ekkor a v ↦ v̂ leképezés lineáris, injektív, véges dimenziós V esetén izomorfizmus, de általában nem.

Diádnak nevezünk egy olyan n × m-es mátrixot, ami egy n magas oszlopvektor és egy m hosszú sorvektor szorzata. A nem nulla diádok pontosan az 1 rangú mátrixok. Minden r rangú n × m-es mátrix előáll r diád összegeként, de kevesebb diád összegeként nem. Egy A : U → V lineáris leképezés rangja pontosan akkor 1, ha van olyan nem nulla u ∈ U és v ∈ V, hogy A = ṽu^{∗} (és ezért A mátrixa diád).

1. Határozzuk meg az alábbi vektorrendszerek rangját ℝ felett.

a) Az alábbi mátrixok oszlopai. A mátrixokat bontsuk is fel rangszámnyi diád összegére.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

b) Az alábbi polinomrendszerek.

{1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x} {x, 2x, x^{2}, x^{3}} {x^{2} + 2x + 2, 2x^{2} − 3x + 6, 3x^{2} − 8x + 10}

2. Igazoljuk, hogy ha A és B összeadható lineáris leképzések, akkor r(A+B) ≤ r(A)+r(B). Adjunk példát arra az esetre, amikor egyenlőség áll, és arra is, amikor nem.

3. Legyen e_{1}, …, e_{n} bázis a V vektortérben, v = λ_{1}e_{1}+⋯+λ_{n}e_{n} és w = μ_{1}e_{1}+⋯+μ_{n}e_{n}. a) Számítsuk ki e_{i}^{∗}(v), v^{∗}(e_{i}) és v^{∗}(w) értékét.

b) Írjuk fel a v^{∗}w̃ és a w̃v^{∗} leképezések mátrixát alkalmasan választott bázispárban.

4. Írjuk fel az origó körüli forgatások és az y = x egyenesre való tükrözés mátrixát az alábbi bázisokban, a bázistranszformáció képletének felhasználásával.

{(1, 0), (0, 2)}, {(2, 0), (0, 1)}, {(2, 0), (0, 2)}, {(−1, 0), (0, 1)},
{(1, 0), (0, −1)}, {(1, 1), (1, −1)}, {(1, 0), (1, 1)}, {(0, 1), (1, 0)} .

Folytatás a következő lapon! Typeset by AMS-TEX 5. Bontsuk fel a síkon a forgatásokat és az egyenesekre való tükrözéseket két-két diád összegére.

Gyakorló feladatok

6. Adott n esetén legyen I az n × n-es egységmátrix, E_{i,j} az a mátrix, amelyben az iedik sor j-edik eleme 1, a többi 0, B_{j} az az n hosszú sorvektor, melyben a j-edik elem 1, a többi 0, és D_{i} az az n magas oszlopvektor, amelyben az i-edik elem 1, a többi nulla. Legyen továbbá M tetszőleges n × n-es mátrix, és λ tetszőleges skalár. Szorozzuk meg az M mátrixot balról is és jobbról is az E_{i,j}, B_{j}, D_{i}, I, C_{i,j}(λ) = I + λE_{i,j}, B_{i} + λB_{j}, D_{i}+λD_{j} mátrixok közül azokkal, amelyekkel lehet. Bontsuk fel ezeket a mátrixokat diádok összegére.

7. Legyen A lineáris leképezés. Igazoljuk az alábbiakat (a leképezéseket balról írjuk). a) Van olyan B lineáris leképezés, hogy ABA = A és BAB = B.

b) Ha A szürjektív, akkor B jobbinverze, ha A injektív, akkor B balinverze A-nak.

c) (AX = AY ⟹ X = Y) ⟺ A injektív ⟺ A balinvertálható.

d) (XA = Y A ⟹ X = Y) ⟺ A szürjektív ⟺ A jobbinvertálható.

8. Legyenek A és B olyan lineáris leképezések, melyekre létezik AB. Igazoljuk, hogy a) Im(AB) ⊆ Im(A) és Ker(AB) ⊇ Ker(B);

b) ha AB injektív (illetve szürjektív), akkor B (illetve A) is az;

c) ha A és B is injektív (szürjektív, bijektív), akkor AB is az;

d) r(AB) = r(B) − dim(Ker(A) ∩ Im(B)) ≥ r(A) + r(B) − dim(V). Vezessük le ebből, hogy ṽu^{∗} csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényező nulla.

9. Legyen A : U → V lineáris leképezés, u_{1}, …, u_{k} bázis U-ban, v_{1}, …, v_{n} bázis V -ben. Írjuk fel a megfelelő bázispárokban az A ∘ ũ_{i}, v_{j}^{∗} ∘ A, v_{j}^{∗} ∘ A ∘ ũ_{i} leképezések mátrixát.

10. Legyen u_{1}, …, u_{n} bázis az U vektortérben, v_{1}, …, v_{n} bázis a V vektortérben. Legyen továbbá A : U → V az a lineáris leképezés, melyre A(u_{i}) = v_{i} minden i-re, és B : V^{∗} → U^{∗} az a leképezés, amelyre tetszőleges f ∈ V^{∗} esetén B(f) = f ∘ A. Mi lesz B mátrixa a ((v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}), (u_{1}^{∗}, …, u_{n}^{∗})) bázispárban?

11. Igazoljuk a bevezetőbeli állításokat.

12. Mely lineáris leképezések azok, melyek magja maximális altér?

13. Legyenek V, W ugyanazon test feletti vektorterek, és v ∈ V egy rögzített vektor. Jelölje X azt a lineáris leképezést Hom(V, W)-ből W -be, ami az A leképezéshez A(v)-t rendeli. Határozzuk meg X rangját.

14. Mutassuk meg, hogy ha V végtelen dimenziós vektortér, akkor minden r racionális számhoz megadható V -ben egy V_{r} altér úgy, hogy r < s ∈ ℚ esetén V_{r} ⫋ V_{s}.

15^{∗}. Mutassuk meg, hogy egy végtelen test feletti vektortér nem áll elő véges sok valódi alterének uniójaként.

16^{∗}. Legyen U vektortér T felett, és A, A_{1}, …, A_{k} ∈ Hom(U, T). Igazoljuk, hogy A akkor és csak akkor függ A_{1}, …, A_{k}-tól, ha minden u ∈ U-ra A(u) függ A_{1}(u), …, A_{k}(u)-tól.