Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Első alkalom

1. Határozzuk meg \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}} és \sqrt[3]{5 + \sqrt{−2}} + \sqrt[3]{5 − \sqrt{−2}} értékét.

2. Számítsuk ki (1 + i)/(1 − i) értékét, 1 + i trigonometrikus alakját és abszolút értékét.

3. Számítsuk ki (1 + i)^{1991} értékét. Mivel egyenlő 1 + \binom{n}{4} + \binom{n}{8} + \binom{n}{12} + … ?

4. Hol a hiba a következő levezetésben?

1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1) · (−1)} = \sqrt{−1} · \sqrt{−1} = i · i = −1

5. Fejezzük ki cos x és sin x segítségével sin 7x-et. (Ötlet: a binomiális tétel segítségével számítsuk ki cos x + i sin x hetedik hatványát.)

6. Rajzoljuk le az alábbi halmazokat a komplex számsíkon.

\{z ∈ ℂ : |z| = iz\} ,  \{z ∈ ℂ : |z − i − 1| = |z + 2|\} ,  \{z ∈ ℂ : \frac{1}{z} = \overline{z}\}

\{z ∈ ℂ : Im\frac{z − 1}{z + 1} = 0\} , \{z ∈ ℂ : Re\frac{z − 1}{z + 1} = 0\}

7. Legyenek z és w különböző komplex számok.

a) Írjuk fel az őket összekötő szakasz felezőpontját.

b) Írjuk fel annak a két szabályos háromszögnek a harmadik csúcsát, illetve a középpontját, melyeknek az adott két szám két csúcsa.

8. Írjunk egy háromszög mindegyik oldalára kifelé egy szabályos háromszöget. Igazoljuk, hogy ezek középpontjai szabályos háromszöget alkotnak.

9. Egy négyszög oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átellenes oldalakra rajzolt négyzetek középpontjait. Mutassuk meg, hogy az így kapott két szakasz merőleges, és egyenlő hosszú.

10^{∗}. Hozzuk zárt alakra (komplex számok felhasználásával) a sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx összeget.

11^{∗}. Tekintsük az

f(z) = \frac{az + b}{cz + d} ad − bc ≠ 0, a, b, c, d ∈ ℂ

leképezést a komplex síkon. Mutassuk meg, hogy ez pontosan akkor képzi a {z : |z| < 1} halmazt (az egységkör belsejét) önmagára, ha a következő alakban írható:

f(z) = k \frac{z − α}{1 − \overline{α}z} |k| = 1, |α| < 1, k, α ∈ ℂ .

12^{∗∗}. Adott a síkon véges sok pont úgy, hogy bármely kettő összekötő egyenesén még van egy harmadik pont ezek közül. Igazoljuk, hogy az összes pont egy egyenesen van.

13. A metróállomásról 10 percenként indul szerelvény északra is, délre is. Paganel, a szórakozott földrajztudós minden reggel véletlen időpontban érkezik, és abba a szerelvénybe száll be, amelyik előbb jön. Mégis azt tapasztalja, hogy az esetek 9/10-ed részében délre utazott. Hogyan lehetséges ez?