Matematikus szak, első évfolyam, második félév Második zárthelyi — megoldások

1. A kapott kétismeretlenes egyenletrendszer két egyenlete y^{2}z+yz^{2} = 0 és y^{2}+z^{2}+yz = 1, az egyismeretlenes egyenlet pedig z^{2}(z^{2} − 1)^{2} = 0. Innen visszafelé haladva hat megoldást kapunk, azokat az (x, y, z) hármasokat, melyekre {x, y, z} = {−1, 0, 1}.

2. Nem. Mivel T^{2} = I, tetszőleges v vektorra ⟨v, T v⟩ egy T -invariáns altér, azaz részmodulus. Ez tehát a v által generált részmodulus, ami legfeljebb kétdimenziós, és így nem lehet az egész.

3. A szokásos eljárással kapjuk a polinommátrix normálalakját és a Jordan-alakot.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (x − i)^{2}(x + i) \end{matrix} ) J = ( \begin{matrix}i & 0 & 0 \\ 1 & i & 0 \\ 0 & 0 & −i \end{matrix} )

4. A kvadratikus alak mátrixa és egy megfelelő bázis:

( \begin{matrix}71 & 18 & 54 \\ 18 & 86 & −36 \\ 54 & −36 & −10 \end{matrix} )  b_{1} = ( \begin{matrix}6/7 \\ 3/7 \\ 2/7 \end{matrix} )  b_{2} = ( \begin{matrix}2/7 \\ −6/7 \\ 3/7 \end{matrix} )  b_{3} = ( \begin{matrix}3/7 \\ −2/7 \\ −6/7 \end{matrix} )

Ezek sajátvektorok rendre 98, 98, −49 sajátértékkel, a kvadratikus alak tehát indefinit. A b_{3} lényegében egyértelműen meghatározott, a b_{2}-t például a Schmidt-féle eljárással lehet megtalálni.

5. Igen, eldönthető. Ha a transzformáció normális, akkor diagonalizálható, és ezért a minimálpolinomjának minden gyöke egyszeres. Ha még unitér is, akkor ezek a gyökök mindegyike 1 abszolút értékű. Megfordítva, ha a minimálpolinom minden gyöke egyszeres, akkor a transzformáció diagonalizálható. A megfelelő bázisból készítve a skalárszorzatot ez a bázis ortonormált lesz, és ezért a transzformáció normális. Ha a sajátértékek mind 1 hosszúak, akkor pedig unitér is, hiszen egy ONB-t ONB-be visz.

6. Igaz. Két transzformáció akkor és csak akkor hasonló, ha a Jordan-alakjuk (lényegében) megegyezik. Az állítást elég egyetlen Jordan-blokkra bizonyítani. Vegyük észre, hogy egy transzformáció akkor és csak akkor áll egyetlen Jordan-blokkból, ha bármely két sajátvektora párhuzamos. Ez az inverzre is igaz, és mivel az inverz sajátvektorai ugyanazok, mint az eredeti transzformáció sajátvektorai, ezért az inverz is egyetlen Jordan-blokkból áll. Mivel az inverzhez tartozó sajátérték az eredeti sajátérték reciproka, azaz 1, ez a Jordanblokk azonos az eredetivel.— Ötlet második megoldáshoz: egy n × n-es mátrix akkor és csak akkor áll egyetlen Jordan-blokkból, ha λI + N alakú, ahol N^{n} = 0 de N^{n−1} ≠ 0.

Typeset by AMS-TEX