Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Második zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a rezultáns módszerével.

\{ \begin{matrix}x + y + z & = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} & = 2 \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} & = 0 \end{matrix}

2. Legyen T az ℝ feletti V = ℝ^{3} vektortéren egy origón átmenő egyenesre való (merőleges) tükrözés. Tegyük V -t modulussá ℝ[x] felett a szokásos módon: p(x) ∘ v = p(T)v. Generálható-e az így kapott modulus egy elemmel?

3. Számítsuk ki az alábbi mátrix determinánsosztóit és Jordan-féle normálalakját.

( \begin{matrix}i & 0 & 0 \\ −1 & i & 1 − i \\ 0 & 0 & −i \end{matrix} )

4. Legyen

b_{1} = ( \begin{matrix}6/7 \\ 3/7 \\ 2/7 \end{matrix} ) és Q(x) = 71x^{2} + 86y^{2} − 10z^{2} + 36xy − 72yz + 108xz .

Egészítsük ki b_{1}-et az ℝ feletti ℝ^{3} vektortér egy olyan ortonormált bázisává, amelyben a Q kvadratikus alak négyzetösszeggé válik, és határozzuk meg Q karakterét.

5. Ismerjük egy komplex feletti lineáris transzformáció minimálpolinomját. El tudjuk-e dönteni ennek birtokában, hogy van-e olyan skaláris szorzat, amelyre nézve a transzformáció

a) normális;

b) unitér?

6. Igaz-e, hogy ha egy komplex elemű mátrix egyetlen sajátértéke az 1, akkor a mátrix hasonló az inverzéhez?

Typeset by AMS-TEX