Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Legyen V a legfeljebb másodfokú valós együtthatós polinomokból és a nullapolinomból álló vektortér ℝ felett. Határozzuk meg

(x^{2} + 1)(3x^{2} + 2x + 1)^{∗} + (2x + 1)(x^{2} + x + 3)^{∗} + (2x + 4)(2x^{2} + x − 2)^{∗}

rangját és sajátaltereit (a bázis a szokásos).

2. Határozzuk meg az alábbi M mátrix invariáns altereit ℝ felett.

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

3. Mely n > 0 egészekre van S_{n} fixpontmentes elemei között több páros, mint páratlan?

4. Tegyük fel, hogy az A és B egy véges dimenziós téren ható lineáris transzformációk, melyekre ABA = A és BAB = B. Következik-e ebből, hogy A és B nem nulla sajátértékei egymás reciprokai?

5. Legyen A azoknak a törteknek a csoportja az összeadásra, melyek nevezője relatív prím a hathoz. Számítsuk ki az A ⊗ ℤ_{3^{∞}} és az A ⊗ ℤ_{5^{∞}} csoportokat.

6. Van-e olyan M baloldali unitér ℝ[x]-modulus, és φ : M → M nem nulla modulus-homomorfizmus, melyre φ önmagával vett tenzorszorzata (mint Hom(M ⊗ M, M ⊗ M) eleme) nulla?

Typeset by AMS-TEX