Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Nyolcadik alkalom

1. A rezultáns módszerével vezessük vissza az alábbi egyenletrendszereket egyismeretlenes egyenletre, és oldjuk is meg őket ℝ felett.

\{ \begin{matrix}(x − 1) · y^{2} & + & (x + 1) · y & − 2 = 0 \\ (x − 1) · y^{2} & + & x · y & − 1 = 0 \end{matrix}  \{ \begin{matrix}(x − 1) · y^{2} & + & (x + 1) · y & − 1 = 0 \\ (x − 1) · y^{2} & + & x · y & − 1 = 0 \end{matrix}

\{ \begin{matrix}x^{2} + 1 & = 2y \\ y^{2} + 1 & = 2z \\ z^{2} + 1 & = 2x \end{matrix}

2. Legyen az U vektortér bázisa {u_{1}, u_{2}, u_{3}}, a V vektortéré {v_{1}, v_{2}} valós felett. Legyen A ∈ Hom(U, V), S ∈ Hom(U) és T ∈ Hom(V) az alábbi mátrixokkal adva a megfelelő bázisokban.

[A] = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & −1 & 3 \end{matrix} )  [S] = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} )  [T] = ( \begin{matrix}4 & 3 \\ −3 & 4 \end{matrix} )

Legyen továbbá B : U × V → ℝ egy olyan bilineáris függvény, melynek mátrixa az adott bázisban ugyanaz, mint A mátrixa. Tekintsük most az {Su_{1}, Su_{2}, Su_{3}} illetve a {T v_{1}, T v_{2}} új bázisokat. Adjuk meg A, B, S, T mátrixát az új bázisban közvetlen számolással.

3. Tekintsük a −x^{2} +10xy −y^{2} −z^{2} és a −3x\overline{x}+4ix\overline{y} −4i\overline{x}y +3y\overline{y} −z\overline{z} kvadratikus alakot ℝ illetve ℂ felett.

a) Írjuk fel ezek mátrixát.

b) Transzformáljuk őket négyzetösszeggé a Schmidt-féle eljárással.

c) Határozzuk meg kvadratikus karakterüket.

4. Legyen Q kvadratikus alak egy valós feletti vektortéren, e_{1}, …, e_{n} egy Q-ortogonális bázis, és

U = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) > 0⟩ ,
V = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) ≥ 0⟩ ,
W = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) = 0⟩ .

E három altér közül melyek függetlenek az e_{1}, …, e_{n} bázistól?

5. Mutassuk meg, hogy ha Q kvadratikus alak egy véges dimenziós, ℝ feletti vektortéren, és x ≠ 0 esetén Q(x) ≠ 0, akkor Q definit. Igaz-e az állítás ℚ felett? És ℂ felett?

6. Igaz-e, hogy a kvadratikus alakok vektorterében a pozitív definit alakok halmaza zárt az összeadásra? És a pozitív szemidefiniteké? Hát az indefiniteké?

7. Igaz-e, hogy minden kvadratikus alak előáll két pozitív definit kvadratikus alak különbségeként?

8. Bizonyítsuk be, hogy minden ℂ feletti vektortéren értelmezett bilineáris függvény egyértelműen felírható A + Bi alakban, ahol A és B Hermitikus.

Typeset by AMS-TEX