Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Hetedik alkalom

1. Milyen ismert gyűrűkkel izomorfak az alábbi faktorok?

a) ℤ/4ℤ (4ℤ a néggyel osztható számok halmaza).

b) ℤ[x]/(x^{2} + 1).

c) ℝ[x]/(x^{2} + 1).

d) ℝ[x]/(x^{2} + 4).

e) ℝ[x]/(x^{2} − 1).

2. Írjuk fel a ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1) faktorgyűrű művelettábláit, és igazoljuk, hogy négyelemű testet kaptunk. Konstruáljunk hasonló módszerrel egy nyolcelemű testet. Izomorfia erejéig hányféle testet kapunk így?

3. Jelölje 𝔾 a Gauss-egészek gyűrűjét.

a) Test-e a 𝔾/(3) faktorgyűrű?

b) Hány eleme van a 𝔾/(3) faktorgyűrűnek?

c) Van-e 𝔾-nek a háromelemű testtel izomorf faktorgyűrűje?

4. Legyen R egységelemes gyűrű és M baloldali unitér R-modulus, mely egy elemmel generálható (azaz ciklikus).

a) Mutassuk meg, hogy M izomorf R-nek mint önmaga feletti modulusnak egy J részmodulusa, azaz balideálja szerinti faktormodulusával.

b) Adjunk meg egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést M faktormodulusai, és R-nek a J-t tartalmazó balideáljai között.

5. Legyen

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) és u = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

a) Mutassuk meg, hogy az M = ℝ^{3} a pv = p(A)v definícióval ℝ[x]-modulus.

b) Igazoljuk, hogy u generálja M-et (azaz M ciklikus).

c) Mutassuk meg, hogy az A-invariáns alterek éppen a részmodulusok.

d) Igazoljuk, hogy M izomorf ℝ[x]-nek (mint önmaga feletti modulusnak) az x(x − 1)^{2} polinom által generált ideál szerinti faktormodulusával.

e) Igazoljuk, hogy M faktormodulusai, és így részmodulusai is éppen x(x−1)^{2} osztóinak felelnek meg, és számítsuk is ki az összes részmodulust.

További feladatok

6. A faktorgyűrű fogalmának felhasználásával bizonyítsuk be a Schönemann-Eisenstein tételt minden alaptételes gyűrű felett.

7. Mutassuk meg, hogy ha p prímszám, akkor létezik akármilyen nagy elemszámú, véges, p-karakterisztikájú test. Létezik-e végtelen elemszámú, p karakterisztikájú test?

8^{∗}. Legyen n pozitív egész, és R egy végtelen integritási tartomány, melyben az x ↦ x^{n} leképezés endomorfizmus. Mutassuk meg, hogy n prímhatvány.

9^{∗}. Legyen D főideálgyűrű. Generálható-e a D[x, y] gyűrű (x^{2}, xy, y^{2}) ideálja két elemmel?

Typeset by AMS-TEX