Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Hatodik alkalom

1. Modulusok, illetve unitér modulusok-e az alábbi struktúrák?

a) A valós együtthatós polinomok az összeadásra nézve ℚ felett a q ∘ p(x) = qp(1) (mint konstans polinom) szorzással.

b) A G = ℝ^{+} × ℝ^{+} Abel-csoport az ℝ gyűrű felett az r ∘ (a, b) = (ra, rb) szorzással.

c) Az előbbi G az ℝ felett az r ∘ (a, b) = (ra, 0) szorzással.

d) Az előbbi G az ℝ felett az r ∘ (a, b) = (ra + rb, ra − rb) szorzással.

e) Az előbbi G a ℂ felett az (r + is) ∘ (a, b) = (ra, sb) szorzással.

f) Az előbbi G a ℂ felett az (r + is) ∘ (a, b) = (ra − sb, rb + sa) szorzással.

g) Tetszőleges A Abel-csoport ℤ felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

h) Ha S részgyűrűje R-nek, akkor R az S felett, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás).

i) Ha S balideálja R-nek, akkor S az R felett, ahol az összeadás az S-beli összeadás, és r ∘ s = rs (R-beli szorzás).

j) Egy halmaz összes részhalmaza a kételemű test felett, az összeadás a szimmetrikus differencia képzése, 0 ∘ H = ∅, 1 ∘ H = H.

2. Legyen M az R gyűrű, mint az S részgyűrűje feletti modulus, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás). Modulus-homomorfizmusok-e az alábbi függvények?

a) φ : M → M; φ(r) = tr (t ∈ R rögzített).

b) φ : M → M; φ(r) = rt (t ∈ R rögzített).

3. Tegyük ℝ additív csoportját modulussá ℝ[x] felett kétféleképpen. Az első modulus szorzása p(x) ∘ r = p(1)r, a másodiké p(x) ∘ r = p(2)r. Izomorf modulusokat kaptunk-e?

4. Legyen V egy n-dimenziós vektortér, és R = Hom(V). Tegyük V -t R-modulussá az A ∘ v = A(v) szorzással. Mik lesznek a kapott modulus részmodulusai?

5. Legyen R kommutatív egységelemes gyűrű és A, B, C, D baloldali unitér R-modulusok. Melyek igazak az alábbi izomorfizmusok közül?

a) _{R}R ⊗ A ≅ A.

b) Hom(A × B, C) ≅ Hom(A, C) × Hom(B, C).

c) Hom(A, C × D) ≅ Hom(A, C) × Hom(A, D).

d) Hom(A ⊗ B, C ⊗ D) ≅ Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D).

e) (A × B) ⊗ C ≅ (A ⊗ C) × (B ⊗ C).

f) Hom(A, Hom(B, C)) ≅ Hom(A ⊗ B, C).

6. Legyen R kommutatív egységelemes gyűrű, A ≤ B és C ≤ D baloldali unitér Rmodulusok. Jelölje U az a ⊗ c alakú elemek által generált részcsoportot B ⊗ D-ben, ahol a befutja A-t és c befutja C-t.

a) Mutassuk meg, hogy U homomorf képe A ⊗ C-nek.

b) Igaz-e, hogy B/A ⊗ D/C ≅ (B ⊗ D)/U?

c) Igaz-e, hogy U és A ⊗ C izomorfak?

d) Igaz-e, hogy U és A ⊗ C izomorfak, ha R test?

Typeset by AMS-TEX