Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Ötödik alkalom

Egy Abel-csoport

— redukált, ha a nullán kívül nincs osztható részcsoportja;

— torziócsoport, ha minden eleme véges rendű;

— torziómentes, ha csak egy véges rendű eleme van;

— szabad, ha ℤ^{+} néhány példányának direkt összegével izomorf. Ha A Abel-csoport és n ∈ ℤ, akkor nA az A elemeinek n-szereseiből álló részcsoport. A D Abel-csoport injektív, ha bármely B ≤ A Abel-csoportok esetén A tetszőleges D-be való homomorfizmusa kiterjeszthető B-re.

1. Számítsuk ki az alábbi faktorok művelettábláit. Milyen ismert csoportot kapunk?

a) ℤ^{+}/4ℤ^{+}.

b) A/21A, ahol A = ℤ_{60}^{+} × ℤ_{24}^{+}. Mi lesz a (11, 11) + 21A elem rendje?

2. Számítsuk ki az alábbi Abel-csoportokat.

a) ℤ_{n}^{+} ⊗ ℤ^{+}.

b) ℤ_{n}^{+} ⊗ ℤ_{m}^{+}.

c) ℚ^{+} ⊗ ℤ_{n}^{+}.

d) ℚ^{+} ⊗ ℚ^{+}.

e) ℤ_{p^{∞}} ⊗ ℤ_{n}^{+}.

f) ℤ_{p^{∞}} ⊗ ℤ_{p^{∞}}.

3. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) Osztható csoportnak bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata osztható.

b) Torziócsoport bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata torziócsoport.

c) Osztható csoportnak bármely torziócsoporttal vett tenzorszorzata nulla.

d) Két szabad Abel-csoport tenzorszorzata is szabad.

e) Ha A tetszőleges Abel-csoport, akkor ℤ_{n}^{+} ⊗ A ≅ A/nA.

4. Számítsuk ki A = ℤ^{+}, ℤ_{m}^{+}, ℤ_{p^{∞}}, ℚ^{+} esetén Hom(A, φ)-t, Hom(φ, A)-t és A ⊗ φ-t. Vizsgáljuk meg, hogyan függ össze φ és az eredmény injektivitása, illetve szürjektivitása.

a) φ : ℤ^{+} → ℤ^{+} az a homomorfizmus, ami minden elemhez az n-szeresét rendeli.

b) φ : ℤ_{m} → ℤ_{nm}, az n-nel szorzás.

c) φ : ℤ → ℤ_{n} a mod n vett maradék képzése.

d) φ a ℤ → ℚ beágyazás.

5. Legyenek A, B, C, D Abel-csoportok.

a) Mutassuk meg, hogy van egy ψ : Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D) → Hom(A ⊗ B, C ⊗ D) természetes homomorfizmus.

b) Legyen φ : ℤ_{p} → ℤ_{p^{2}} az a leképezés, amire φ(1) = p. Számítsuk ki φ ⊗ φ-t a két lehetséges értelmezés szerint.

c) Igazoljuk, hogy ψ általában se nem injektív, se nem szürjektív.

6^{∗∗}. Mutassuk meg, hogy egy Abel-csoport akkor és csak akkor osztható, ha injektív. Mutassuk meg, hogy minden Abel-csoport előáll egy osztható csoportnak és egy redukált csoportnak a direkt összegeként.

Typeset by AMS-TEX