Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Negyedik alkalom

Ha A és B Abel-csoportok, akkor Hom(A, B) jelöli az A-ból B-be menő csoporthomomorfizmusok csoportját a pontonkénti összeadásra. Az A Abel-csoportot osztható csoportnak nevezzük, ha minden n egészhez és minden g ∈ A-hoz van olyan h ∈ A, hogy hn = g.

1. Határozzuk meg az alábbi A lineáris transzformációk illetve mátrixok karakterisztikus polinomját, sajátértékeiket, sajátaltereiket és invariáns altereiket.

a) A az alábbi mátrixok ℝ illetve ℂ felett:

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

b) V a sík ℝ felett, A pedig az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges irányú vetítés; az origó körüli α szögű forgatás.

c) V az ℝ[x] legfeljebb másodfokú elemei az ℝ felett, A(f) = f′ (derivált).

2. Adjunk meg a térben egy olyan lineáris transzformációt, melynek van olyan kétdimenziós invariáns altere, ami nem sajátaltér.

3. Milyen kapcsolatban állnak egy A mátrix karakterisztikus polinomjának együtthatói A nyomával illetve determinánsával? Igazoljuk a Cayley-Hamilton-tételt kétszer kettes mátrixokra. Oldjuk meg az X^{2} = −E és az X^{2} = 0 egyenleteket ℝ^{2×2}-ben.

4. Határozzuk meg az alábbi Hom-csoportokat. A p-hatványadik komplex egységgyökök multiplikatív csoportját ℤ_{p^{∞}} jelöli (p adott prím), n, m > 0 egészek, A tetszőleges Abelcsoport. Hom(ℤ_{n}^{+}, ℤ_{m}^{+}), Hom(ℤ_{n}^{+}, ℤ^{+}), Hom(ℤ^{+}, A), Hom(ℚ^{+}, ℤ^{+}), Hom(ℤ_{p^{∞}}, ℤ_{n}^{+}).

További feladatok

5. Mutassuk meg, hogy ha AB = BA, akkor A minden sajátaltere, továbbá Im(A) és Ker(A) is B-invariáns altér.

6. Tegyük fel, hogy A egy olyan lineáris transzformáció egy n-dimenziós téren, melynek n különböző sajátértéke van. Igazoljuk, hogy A-nak pontosan 2^{n} invariáns altere van. Igazoljuk azt is, hogy ha B felcserélhető A-val, akkor van olyan f polinom, hogy B = f(A).

7. Van-e olyan M ∈ ℚ^{100×100} mátrix, melynek csak a két triviális invariáns altere van?

8. Mutassuk meg, hogy egy komplex elemű négyzetes mátrix akkor és csak akkor nilpotens, ha minden hatványának nulla a nyoma. Az első hány hatványra kell ezt feltenni?

9. Legyen A : U → V lineáris leképezés és A^{∗} : V^{∗} → U^{∗} az a leképezés, amelyre tetszőleges f ∈ V^{∗} esetén A^{∗}(f) = f ∘ A (vö. III/3. feladat).

a) Ha A mátrixa M az ((u_{1}, …, u_{n}), (v_{1}, …, v_{k})) bázispárban, mi lesz A^{∗} mátrixa a ((v_{1}^{∗}, …, v_{k}^{∗}), (u_{1}^{∗}, …, u_{n}^{∗})) bázispárban?

b) Mutassuk meg, hogy { \atop A(u)} = A^{∗∗}(û). Itt u ↦ û jelöli a szokásos U → U^{∗∗} és V → V^{∗∗} beágyazásokat (vö. III/5. feladat).

10^{∗∗}. Keressünk példákat osztható csoportokra, majd adjunk rájuk struktúratételt. Mutassuk meg, hogy minden Abel-csoport beágyazható osztható csoportba.

Typeset by AMS-TEX