Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Harmadik alkalom

Legyenek V_{i} vektorterek (ugyanazon T test felett). Ezek direkt szorzatán azt a V = ∏ V_{i} vektorteret értjük, melynek alaphalmaza a V_{i}-k alaphalmazainak Descartes-szorzata, és a műveleteket komponensenként végezzük. Ugyanezen vektorterek ∑ V_{i} direkt összegén a V azon elemeiből álló alteret értjük, amelyben véges sok komponens kivételével a megfelelő vektortér nulleleme szerepel.

1. Legyen v_{1}, …, v_{n} bázis a V vektortérben, és v = c_{1}v_{1} + ⋯ + c_{n}v_{n}.

a) Számítsuk ki v_{i}^{∗}(v), v^{∗}(v_{i}) és v^{∗}(v) értékét.

b) Írjuk fel a v^{∗} ∘ ṽ és a ṽ ∘ v^{∗} leképezések mátrixát alkalmasan választott bázispárban.

2. Legyen α : U → V lineáris leképezés, u_{1}, …, u_{k} bázis U-ban, v_{1}, …, v_{n} bázis V -ben. Írjuk fel a megfelelő bázispárokban az α ∘ ũ_{i}, v_{j}^{∗} ∘ α, v_{j}^{∗} ∘ α ∘ ũ_{i} leképezések mátrixát.

3. Legyen u_{1}, …, u_{n} bázis az U vektortérben, v_{1}, …, v_{n} bázis a V vektortérben. Legyen továbbá α : U → V az a lineáris leképezés, melyre α(u_{i}) = v_{i} minden i-re, és β : V^{∗} → U^{∗} az a leképezés, amelyre tetszőleges f ∈ V^{∗} esetén β(f) = f ∘ α. Mi lesz β mátrixa a ((v_{1}^{∗}, …, v_{n}^{∗}), (u_{1}^{∗}, …, u_{n}^{∗})) bázispárban?

4. Mutassuk meg, hogy (∑ V_{i})^{∗} ≅ ∏ V_{i}^{∗}.

5. Legyen V vektortér, és v ∈ V. Jelölje v̂ ∈ (V^{∗})^{∗} azt az elemet, melyre tetszőleges f ∈ V^{∗} esetén v̂(f) = f(v).

a) Mutassuk meg, hogy a v ↦ v̂ leképezés lineáris és injektív.

b) Mutassuk meg, hogy véges dimenziós V esetén ez a leképezés izomorfizmus, de általában nem.

6. Mutassuk meg, hogy egy (esetleg végtelen sok egyenletből álló) lineáris egyenletrendszer akkor és csak akkor nem megoldható, ha van véges sok olyan egyenlet, melyek alkalmas lineáris kombinációját elkészítve a baloldal nulla lesz, de a jobboldal nem. Vezessük le ebből a duális térbeli lineáris függést jellemző tételt.

7. Legyenek A : U → V és B : V → W lineáris leképezések. Mutassuk meg, hogy r(B ∘ A) = r(A) − dim(Im(A) ∩ Ker(B)) ≥ r(B) + r(A) − dim(V). Vezessük le ebből, hogy ũ ∘ v^{∗} csak úgy lehet nulla, ha valamelyik tényező nulla.

További gyakorló feladatok

8. Legyen V vektortér, és osztályozzuk Hom(V) elemeit a következő ekvivalencia-reláció szerint: A ∼ B ha van olyan invertálható P és Q, melyre P AQ = B. Hány osztályt kapunk?

9. Legyen R egységelemes gyűrű.

a) Mutassuk meg, hogy ha egy r ∈ R elemnek csak egy balinverze van, akkor az jobbinverz is.

b) Mutassuk meg, hogy ha r ∈ R nilpotens, akkor 1 − r invertálható.

10. Legyen A, A_{1}, …, A_{k} ∈ Hom(U, V). Mutassuk meg, hogy A akkor és csak akkor függ A_{1}, …, A_{k}-tól, ha minden u ∈ U-ra A(u) függ A_{1}(u), …, A_{k}(u)-tól.

Typeset by AMS-TEX