Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Második alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi vektorrendszerek rangját ℝ felett.

a) Az alábbi mátrixok oszlopai. Keressünk rang méretű nem nulla aldeterminánst is. Amelyik mátrix invertálható, annak keressük meg az inverzét Gauss-eliminációval.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

b) Az alábbi polinomrendszerek.

{1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x} {x, 2x, x^{2}, x^{3}} {x^{2} + 2x + 2, 2x^{2} − 3x + 6, 3x^{2} − 8x + 10}

2. Legyenek A : V_{1} → V_{2} és B : V_{1} → V_{2} lineáris leképzések. Mutassuk meg, hogy r(A + B) ≤ r(A) + r(B). Adjunk példát arra az esetre, amikor egyenlőség áll, és arra is, amikor nem.

3. Legyenek V, W ugyanazon test feletti vektorterek, és v ∈ V egy rögzített vektor. Jelölje X azt a lineáris leképezést Hom(V, W)-ből W -be, ami az A leképezéshez A(v)-t rendeli. Határozzuk meg X rangját.

4. Mutassuk meg, hogy minden A lineáris leképezéshez van olyan B lineáris leképezés, hogy ABA = A és BAB = B.

5. Legyen K egy q elemű véges test, és n > 0 egész. Hány olyan n × n-es mátrix van K felett, melynek a determinánsa nem nulla? Hány van, aminek a determinánsa 1? Hány olyan van, ami ez utóbbiak mindegyikével felcserélhető?

6. Adott egy n elemű X halmaznak n részhalmaza úgy, hogy minden pont páros sok halmazban szerepel. Van-e mindig olyan nem üres részhalmaza X-nek, melyet az adott halmazok mindegyike páros sok pontban metsz?

7. Az n lélekszámú Páratlanváros önkormányzata az alábbi rendelkezéseket hozta. − A város bármely klubjának páratlan számú tagja kell, hogy legyen. − Bármely két (különböző) klubnak páros sok közös tagja kell, hogy legyen. − Semelyik két (különböző) klubnak sem lehet azonos a tagsága.

a) Adjunk minél általánosabb módszert ilyen tulajdonságú klubrendszerek gyártására.

b) Igazoljuk, hogy ha n klubot adunk meg így, akkor minden lakos páratlan sok klubnak kell, hogy tagja legyen.

c) Mutassuk meg, hogy a klubok száma legfeljebb n.

8^{∗}. Egy páros gráfot teljesnek nevezünk, ha az alaphalmaz két része között minden lehetséges él be van húzva. Fel lehet-e bontani egy n pontú teljes gráf élhalmazát n − 1-nél kevesebb teljes páros gráf élhalmazainak diszjunkt uniójára?

9^{∗∗}. Mutassuk meg, hogy ℝ^{n}-ben nem lehet (n + 1)(n + 4)/2-nél több pontot megadni úgy, hogy ezek egymástól vett távolságai legfeljebb kétfélék legyenek.

Typeset by AMS-TEX