Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizenegyedik alkalom

1. Az alábbiakban megadjuk egy-egy komplex elemű (ismeretlen) mátrix determinánsosztóit. Döntsük el, van-e ilyen mátrix, és ha igen, akkor adjuk meg a minimálpolinomját és a Jordan-féle normálalakját.

a) {1, 1, x^{2}}.

b) {1, x, x^{2}, x^{3}}.

c) {1, 1, x, x^{3}}.

d) {1, 1, x^{2}, x^{3}}.

e) {1, 1, 1, x^{3}}.

f) {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, x, x^{2}(x − 1)^{2}, x^{5}(x − 1)^{4}}.

2. Adjuk meg az alábbi mátrixok Jordan-alakját.

( \begin{matrix}2 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} )  M = ( \begin{matrix}−3 & −4 & 1 \\ 6 & 9 & −2 \\ 15 & 24 & −5 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

3. Legyen M az előző feladatban szereplő harmadik mátrix. Számítsuk ki az M^{n} sorozat határértékét midőn n tart a végtelenhez.

4. Bizonyítsuk be, hogy ha M komplex elemű mátrix, akkor n → ∞ esetén M^{n} akkor és csak akkor tart nullához, ha M minden sajátértékének az abszolút értéke 1-nél kisebb.

További (nem feltétlenül gyakorló) feladatok

5. Igaz-e, hogy tetszőleges nilpotens (idempotens) valós mátrix valós felett Jordan-alakra hozható? Igaz-e, hogy minden kétszer kettes valós mátrix valós felett Jordan-alakra hozható?

6. Mi annak a mátrixnak a Jordan-alakja, amelyben a diagonálissal párhuzamos, alatta lévő második ferde vonalban csupa egyesek vannak, azon kívül pedig csupa nullák?

7. Igaz-e, hogy minden komplex elemű négyzetes mátrix hasonló a transzponáltjához? (Két mátrix hasonló, ha bázistranszformációval egymásba vihetők.)

8. Igazoljuk, hogy végtelen test felett egy lineáris transzformációnak akkor és csak akkor van véges sok invariáns altere, ha minimálpolinomjának foka megegyezik a tér dimenziójával. Hány invariáns altér van ilyenkor?

9^{∗∗∗∗∗∗∗}. Egy kártyacsomagot a következő módon akarunk megkeverni:

a) a legfelső lapot legalulra tesszük;

b) a legfelső két lapot megcseréljük. Fogunk egy húszfillérest, és sokszor feldobjuk. Ha az eredmény írás, akkor az a)-beli, ha pedig fej, akkor a b)-beli mozdulatot hajtjuk végre. Bizonyítsuk be, hogy ha ezt az eljárást elég sokáig csináljuk, akkor a kártyacsomag jól megkeveredik. (Hogyan lehet általánosítani a feladatot? Mi köze van ennek a Jordan-alakhoz? És a csoportokhoz?)

Typeset by AMS-TEX