Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizedik alkalom

1. Adjuk meg az alábbi lineáris transzformációknak és mátrixoknak a minimálpolinomját ℝ felett: a síkon az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges irányú vetítés; az origó körüli α szögű forgatás; az ℝ[x] legfeljebb másodfokú elemein a deriválás;

( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

2. Melyek azok a lineáris transzformációk a síkon, melyeknek minimálpolinomja elsőfokú? Melyek azok, melyeknek másodfokú? Melyek azok, amelyeknek a minimálpolinomja és a karakterisztikus polinomja különböző?

3. Legyen m az A ∈ Hom(V) transzformáció minimálpolinomja, és m = fg, ahol f és g relatív prímek. Bizonyítsuk be, hogy V = Ker(f(A)) ⊕ Ker(g(A)).

4. Határozzuk meg egy általános diagonális mátrix minimálpolinomját. Bizonyítsuk be, hogy egy ℂ feletti mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható, ha minimálpolinomjának nincsenek többszörös gyökei.

5. Az alább megadott M modulusok megadott X generátorrendszeréhez készítsük el az alaptétel bizonyításában használt mátrixot, hozzuk ezt normálalakra, és ennek alapján bontsuk fel M-et ciklikus modulusok direkt összegére.

a) M = ℤ_{6}^{+} a ℤ felett, X = {2, 3}.

b) M = ℤ_{2}^{+} × ℤ_{2}^{+} × ℤ_{3}^{+} a ℤ felett, X = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

c) M = ℂ^{n} mint a ℂ[x] feletti, az alább megadott mátrixokhoz tartozó szokásos modulus, X pedig ℂ^{n} szokásos bázisa.

( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \\ 1 & 1 & −2 \end{matrix} )

További gyakorló feladatok

6. Oldjuk meg ℚ^{2×2}-ben az X^{4} = 2X egyenletet.

7. Tekintsük Hom(V)-ben az {A^{i} | i = 0, 1, 2, … } (A^{0} = I) transzformációk által generált alteret. Hány dimenziós ez az altér?

8. Igazoljuk, hogy egy racionális elemű négyzetes mátrix minimálpolinomja ugyanaz ℚ és ℂ felett.

9. Igazoljuk, hogy tetszőleges A lineáris transzformációra Ker(f(A)) = Ker(g(A)) akkor és csak akkor, ha (f, m_{A}) = (g, m_{A}).

10. Legyen A olyan lineáris transzformáció egy páratlan dimenziós, ℚ feletti vektortéren, melynek minimálpolinomja másodfokú. Bizonyítsuk be, hogy A-nak van sajátvektora.

Typeset by AMS-TEX