Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Első alkalom

1. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

2. Van-e olyan 123456789 × 123456789-es mátrix, melyben csak a 0 és 1 számok szerepelnek, s determinánsa 2?

3. Bizonyítsuk be, hogy ha egy n-edrendű, komplex elemű determinánsban a_{ij} az a_{ji} konjugáltja minden i, j-re, akkor a determináns értéke valós.

4. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

5. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat. Az elsőt mindhárom módszerrel: a permutációs képlet alapján, a kifejtési tétellel, és Gauss-eliminációval.

| \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}x & a & … & a \\ a & x & … & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a & a & … & x \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 2 & … & 2 \\ 2 & 2 & … & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 2 & 2 & … & n \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & x_{1} & … & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & … & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & x_{n} & … & x_{n}^{n−1} \end{matrix} |

6. Legyen A egész számokból álló négyzetes mátrix.

a) Igazoljuk, hogy A^{−1} akkor és csak akkor áll csupa egész számból, ha det A ∈ {1, −1}.

b) Mutassuk meg, hogy ha minden oszlop elemeinek összege osztható 7-tel, akkor det A is osztható 7-tel.

c) Bizonyítsuk be, hogy det A akkor és csak akkor páros, ha kiválasztható néhány sor úgy, hogy ezeket összeadva a kapott vektor csupa páros számot tartalmaz.

7^{∗∗}. Legyen f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n−1}x^{n−1}, és ε_{i} a 2πi/n szöghöz tartozó n-edik egységgyök. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi, úgynevezett ciklikus determináns értéke

| \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{n−1} \\ a_{n−1} & a_{0} & … & a_{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & … & a_{0} \end{matrix} | = f(ε_{0}) · f(ε_{1}) · . . . · f(ε_{n−1}) .

8^{∗}. Legyen p > 2 prím, és tekintsük az f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{p−2}x^{p−2} ≡ 0 (p) kongruenciát, ahol p ∤ a_{0}. Bizonyítsuk be, hogy ez akkor és csak akkor megoldható, ha

| \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{p−2} \\ a_{1} & a_{2} & … & a_{0} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{p−2} & a_{0} & … & a_{p−3} \end{matrix} | ≡ 0 (p) .

9^{∗∗}. Bergengóciában, a futball-bajnokság félidejénél azt tapasztalták, hogy nem lehet kiválasztani úgy néhány csapatot, hogy a bajnokság bármely csapata (a közülük valók is) ezek ellen összesen páros sok pontot szerzett. Igazoljuk, hogy a résztvevők száma páros (mindenki mindenkivel egyszer játszott, saját maga ellen mindenki nulla pontot szerzett.)

Typeset by AMS-TEX