Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Kilencedik alkalom

1. Generátorrendszer-e X a V vektortérben, ha a) V = ℝ^{4} az ℝ felett és X = {(1, 0, 1, 0)^{T} , (0, 1, 0, 1)^{T} , (1, 0, 0, 1)^{T} , (0, 1, 1, 0)^{T} }.

b) V a valós számsorozatok ℝ feletti vektortere, és X elemei azok a sorozatok, amelyek – minden eleme 0 vagy 1;

– valamelyik eleme 1, az összes többi 0;

– minden eleme irracionális.

2. Adjunk meg egy-egy bázist az alábbi vektorterekben.

a) A komplex számok vektortere ℝ felett.

b) A sík ℝ felett.

c) A legfeljebb n-edfokú T feletti polinomok a T test felett.

d) A legfeljebb n-edfokú ℂ feletti polinomok ℝ felett.

e) Azon valós (a_{i}) sorozatok ℝ felett, melyekre i ≥ 4 esetén a_{i} = a_{i−1} + a_{i−2} + a_{i−3}?

f) Azon legfeljebb tizedfokú f polinomok ℝ felett, melyekre

– f(2) = 0;  – f(1) = f(−1);
– x^{3} + 2 | f;  – f(2i) = 0;

– f az x^{4} + 1-gyel maradékosan osztva konstans maradékot ad.

3. Legyen V egy n-dimenziós vektortér, és F, G véges részhalmazai V -nek. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha F független is és generátorrendszer is, akkor F maximális független részhalmaz.

b) Ha F maximális független, akkor F generátorrendszer.

c) Összefüggő részhalmaz nem lehet generátorrendszer.

d) Ha G minimális generátorrendszer, akkor független.

e) Bármely két generátorrendszer egyenlő elemszámú.

f) Bármely két minimális generátorrendszer egyenlő elemszámú.

g) Ha F elemszáma n, és független, akkor generátorrendszer is.

h) Ha G elemszáma n, és generátorrendszer, akkor független is.

i) Bármely n elemű részhalmaz generátorrendszer.

j) Van olyan n + 1 elemű részhalmaz, ami generátorrendszer.

k) Ha nincs 19 elemű generátorrendszer, akkor van 20 elemű független rendszer.

ℓ) V elemszáma legalább 2^{n}.

n) Ha H ⊆ V, akkor H pontosan akkor generátorrendszer, ha G minden eleme előállítható H elemeinek lineáris kombinációjaként.

4. Legyen egy V vektortérben A ⊆ B ⊆ V. Mutassuk meg, hogy A rangja legfeljebb akkora, mint B rangja. Mi a rangok egyenlőségének a feltétele?

5. Legyenek v_{1}, …, v_{n} vektorok egy V vektortérben. Ha a v_{i} + v_{j} (1 ≤ i < j ≤ n) vektorok rendszere bázis, mennyi lehet a tér dimenziója?

6^{∗}. A szultán gondolt ℝ^{1001}-ben egy bázist, amit Seherezádénak 1001 éjszaka alatt ki kell találnia, különben kivégzik. Éjszakánként egy általa választott vektorról megkérdezheti, hogy mik a koordinátái. Életben marad-e Seherezádé? Mi a helyzet akkor, ha mindig csak az első koordinátára kérdezhet rá, és a kegyelem feltétele az első bázisvektor kitalálása?

Typeset by AMS-TEX