Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Nyolcadik alkalom

1. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorrendszerek?

a) Az ℝ feletti ℝ^{3} vektortérben az alábbi mátrixok oszlopvektorai.

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & −1 \end{matrix} )

b) Az ℝ feletti ℝ[x] vektortérben az alábbi polinomrendszerek.

{1, x, x^{2}} {1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x} {1 + x, 1 + x^{2}, x + x^{2}} {x, 2x, x^{2}, x^{3}}

c) A ℚ feletti ℚ^{2×2} vektortérben

\{( \begin{matrix}−1 & 2 \\ −2 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}3 & 4 \\ −4 & 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}10 & 9 \\ −9 & 10 \end{matrix} )\} .

d) Az ℝ feletti ℂ vektortérben tetszőleges három komplex szám.

e) A sík tetszőleges három pontja ℝ felett.

f) Egy T test feletti T^{n} vektortérben n + 1 tetszőleges vektor.

2. Adjunk meg a) egy tetszőleges T test feletti T^{n} vektortérben n független vektort;

b) egy tetszőleges T test feletti T^{n×k} vektortérben nk független mátrixot;

c) a ℚ feletti ℚ^{3} vektortérben három összefüggő vektort úgy, hogy bármely kettő független legyen.

3. Mutassuk meg, hogy egy vektorrendszer akkor és csak akkor összefüggő, ha valamelyik eleme függ a többitől. Igaz-e, hogy egy vektorrendszer akkor és csak akkor összefüggő, ha mindegyik eleme függ a többitől?

4. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Az üres halmaz mindig független.

b) Ha egy vektorrendszerben szerepel a nullvektor, akkor az nem lehet független.

c) Az egy vektorból álló rendszer akkor és csak akkor független, ha az az egyetlen vektor nem a nullvektor.

d) Két független vektorrendszer uniója is független, ha az unióban esetleg többször szereplő vektorokból csak egyet-egyet hagyunk meg.

e) Ha {a, b, c} független, akkor {a + b, b, c} is független.

f) Ha {a, b, c, d} független, akkor {a + b + c, b + c, c + d, d} is független.

g) Ha {a, b, c} független, akkor tetszőleges v-re {a + v, b + v, c + v} is független.

h) Ha a v_{1}, …, v_{n} vektorok között pontosan egy olyan van, amely függ a többi n − 1 vektortól, akkor ez szükségképpen a nullvektor.

i) Ha egy végtelen test feletti vektortérben a v_{1}, …, v_{n} vektoroknak csak véges sok lineáris kombinációja állítja elő a nullvektort, akkor ezek a vektorok függetlenek.

j) Ha {a, b, c, d} független, de {a, b, c, e} és {c, d, e} összefüggő, ahol e ≠ 0, akkor {a, b, d, e} független.

k) Ha {a, b, c} független, de {a, b, d} is, {a, c, d} is és {b, c, d} is összefüggő, akkor d = 0.

Typeset by AMS-TEX