Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Hetedik alkalom

1. Vektorterek-e az alábbi struktúrák? Ha nem, mely axiómák nem teljesülnek?

a) A T test feletti n magas oszlopvektorok közül azok, melyek komponenseinek összege nulla, a szokásos műveletekre.

b) A T test feletti legfeljebb n-edfokú polinomok halmaza, a polinomok szokásos összeadására, és T elemeivel mint a megfelelő konstans polinommal való szorzásra.

c) A komplex számok ℝ felett, ahol az összeadás a szokásos, és egy valós „skalárral” egy komplex „vektort” úgy szorzunk, hogy a két számot a szokásos módon összeszorozzuk.

d) A pozitív valós számok ℝ felett a szokásos összeadással és szorzással.

e) A pozitív valós számok ℝ felett az u ⊕ v = u · v, λv = v^{λ} műveletekre.

f) A valós számok ℝ felett az u ⊕ v = u + v − 3 és λ ⊙ v = λv − 3λ + 3 műveletekre.

g) A sík (a tér) pontjai az ℝ felett. A műveletek a következők. Kijelölünk tetszőlegesen egy O pontot, ez lesz az origó. Ha P és Q adott, akkor P + Q = R legyen az a pont, melyre \overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}. Ha λ ∈ ℝ, akkor R = λP legyen az a pont, melyre \overrightarrow{OR} = λ\overrightarrow{OP} (azaz |λ|-szeres nyújtás, és negatív λ esetén még az origóra való tükrözés).

h) V = {a, b}, a + a = a + b = b + a = a, b + b = b, és λ ∈ ℝ, v ∈ V esetén λv = v.

2. Igazoljuk, hogy az összeadás kommutativitása következik a többi vektortéraxiómából. Következik-e az additív inverz létezése a többi axiómából?

3. Igazoljuk tetszőleges T test feletti V vektortérben az alábbi állításokat.

a) (∀λ ∈ T)(λ0_{V} = 0_{V}) és (∀v ∈ V)(0_{T} v = 0_{V}).

b) (∀λ ∈ T)(∀v ∈ V)(λv = 0_{V} ⟹ (λ = 0_{T} ∨ v = 0_{V})).

4. Kifejezhető-e v az X elemeinek lineáris kombinációjaként az alábbi esetekben? a) X = {1 + x + x^{2}, 2 − x + x^{2}, 3 + 2x^{2}}, v = 1 + x − x^{2} illetve v = 1 − 2x (ℝ felett).

b) X = {2x + y + z = 4, x − y + 3z = 3}, v pedig x + y + z = 4 (ℝ felett).

5. Adjuk meg az X elemeinek lineáris kombinációjaként kifejezhető elemeket. a) X = {u, v} két origóból kiinduló térvektor (ℝ felett).

b) X = {J, M} két háromszor hármas mátrix: J minden eleme 1, M pedig ((m_{ij})), ahol m_{ij} = 3 ∗ (i − 1) + j (ℝ felett).

c) A valós számsorozatok vektorterében (ℝ felett)

X = {(1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …), (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …)} .

6. Legyen V vektortér. Mely állítások igazak az alábbiak közül?

a) Ha u, v ∈ V, és u kifejezhető v lineáris kombinációjaként, akkor v is kifejezhető az u lineáris kombinációjaként?

b) Ha u, v, w ∈ V, u kifejezhető v és w lineáris kombinációjaként, és w kifejezhető u és v lineáris kombinációjaként, akkor v is kifejezhető u és w lineáris kombinációjaként.

c) Egyetlen vektor sem fejezhető ki az üres halmaz elemeinek lineáris kombinációjaként.

7. Igaz-e, hogy (egy adott T test elemeiből képezett) periodikus sorozatok tetszőleges lineáris kombinációja is periodikus? Igaz-e, hogy két periodikus ℝ → ℝ függvény tetszőleges lineáris kombinációja is periodikus?

Typeset by AMS-TEX