Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Hatodik alkalom

1. Adjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszerek általános megoldását. Az első egyenletrendszer mely megoldásában minimális az ismeretlenek négyzetösszege?

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & + & 6 & z & = & 14 \\ −3 & x & & & & + & 2 & z & = & 3 \\ & x & − & 6 & y & + & 14 & z & = & 31 \end{aligned}  \begin{aligned}HF: & & x & − & y & + & z & + & & t & = & 2 \\ & −3 & x & & & & & + & 3 & t & = & 0 \\ & −2 & x & − & y & + & z & + & 4 & t & = & 2 \\ & 4 & x & − & y & + & z & − & 2 & t & = & 2 \end{aligned}

2. Tekintsünk egy n ismeretlenes, m egyenletből álló, ℝ feletti lineáris egyenletrendszert, melynek t (valós) megoldása van (t = ∞ is lehetséges). Töltsük ki az alábbi táblázatokat: I jelentse azt, hogy ilyen eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem.

Általános  t = 0  t = 1  t = ∞

n < m n = m n > m

Homogén  t = 0  t = 1  t = ∞ n < m n = m n > m

3. Ha egy ℚ feletti homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális komplex megoldása, akkor hány racionális megoldása van? Ha egy ℝ feletti lineáris egyenletrendszernek van komplex, nem valós megoldása, akkor hány valós megoldása van?

4. Tekintsünk egy 3 egyenletből és 4 ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert a mod 5 maradékosztályok teste felett. Hány megoldása lehet az egyenletrendszernek?

5. Adott n szám úgy, hogy közülük bármely n − 1 összege 1996. Melyek ezek a számok? Hogyan módosul a feladat, ha a megoldást ℤ_{p}-ben keressük (ahol p prím)?

További gyakorló feladatok

6. Legyen (E) az e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} egyenletekből álló lineáris egyenletrendszer. Jelölje (E′) az e_{1} − e_{2} , e_{2} − e_{3}, e_{3} − e_{4}, e_{4} − e_{1} egyenletekből álló egyenletrendszert. Milyen kapcsolat van az (E) és az (E′) megoldásainak halmaza között?

7. Van-e alkalmas test felett olyan 5 egyenletből álló és 3 ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszer, amelynek 0, 1, 5, 9, illetve végtelen sok megoldása van? Hogyan módosulnak a válaszok, ha 3 egyenletből álló és 5 ismeretlent tartalmazó lineáris egyenletrendszert kell megadnunk?

8. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszereket (a ≠ b adott):

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & − & & z & + & 5 & u & − & 17 & v & = & 10 \\ 3 & x & + & 2 & y & + & 2 & z & − & 12 & u & + & 7 & v & = & −16 \\ 7 & x & − & 4 & y & & & & − & 2 & u & − & 27 & v & = & 4 \\ & x & + & & y & + & & z & − & 5 & u & + & 4 & v & = & −8 \end{aligned}  \begin{aligned}a & x_{1} & + & a & x_{2} & + & … & + & a & x_{n−1} & + & b & x_{n} & = & 1 \\ a & x_{1} & + & a & x_{2} & + & … & + & b & x_{n−1} & + & a & x_{n} & = & 2 \\ . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . & . \\ b & x_{1} & + & a & x_{2} & + & … & + & a & x_{n−1} & + & a & x_{n} & = & n \end{aligned}

Typeset by AMS-TEX