Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Ötödik alkalom

Egy egész együtthatós polinom primitív, ha együtthatóinak legnagyobb közös osztója 1. Gauss lemmája szerint két primitív polinom szorzata is primitív. Ennek következménye, hogy egy egész együtthatós polinom akkor és csak akkor felbonthatatlan ℤ[x]-ben, ha vagy konstans prímszám, vagy primitív, és irreducibilis ℚ felett.

Egy polinomnak akkor és csak akkor van gyöke, ha van elsőfokú tényezője. Ezért test felett egy elsőfokú polinom mindig irreducibilis, és mindig van gyöke; egy másod- vagy harmadfokú akkor és csak akkor irreducibilis, ha nincs gyöke; egy legalább negyedfokú biztosan reducibilis, ha van gyöke, de ha nincs, akkor lehet reducibilis is és irreducibilis is.

A Racionális Gyökteszt: ha p/q racionális gyöke az a_{n}x^{n} +⋯+a_{0} egész együtthatós polinomnak, ahol (p, q) = 1, akkor p | a_{0} és q | a_{n}. További ötletek az irreducibilitás eldöntésére:

– f akkor és csak akkor irreducibilis, ha egy eltoltja (f(x + c)) az.

– Ha f ∈ ℤ[x], akkor vizsgáljuk modulo p, ahol p prímszám.

– Bontsuk fel a polinomot egy nagyobb testben, és használjuk a felbontás egyértelműségét.

1. Bontsuk ℤ[x]-ben felbonthatatlanok szorzatára 30x^{2} + 24-et és 10x^{2} + 15x + 6-ot.

2. Igazoljuk, hogy ha p prím, akkor a Φ_{p^{n}}(x) körosztási polinom irreducibilis ℚ felett.

3. Bontsuk fel az alábbi polinomokat irreducibilisek szorzatára ℚ felett: x^{2} − 3x + 2 , x^{2} − x − 1 , x^{3} + x + 3 , x^{4} + 4 , x^{4} + 9.

4. Legyen f(x) = (x−\sqrt{2}−\sqrt{3})(x−\sqrt{2}+\sqrt{3})(x+\sqrt{2}−\sqrt{3})(x+\sqrt{2}+\sqrt{3}) = x^{4} −10x^{2} +1. Mutassuk meg, hogy f irreducibilis ℚ felett.

5. Hány olyan f, g, ill. h egész együtthatós polinom létezik, amelyre a) f(4) = 5 és f(14) = 13;

b) g(a) = g(b) = 0 és g(c) = 1 (a, b, c adott, páronként különböző egészek);

c) h(a) = h(b) = h(c) = 0 és h(d) = 1 (a, b, c, d adott, páronként különböző egészek).

További gyakorló feladatok

6. Az alábbi polinomok mindegyikéről döntsük el, hogy irreducibilis-e ℚ felett: x^{4} + 1 , x^{4} + 2 , 2x^{4} + 2x^{2} + 1 , x^{3} + 9 , x^{6} − 10x + 10 , x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1.

7. Bontsuk fel az x^{4} + 1 polinomot irreducibilisek szorzatára ℤ_{2} ill. ℤ_{3} fölött.

8. Vezessük le a Racionális Gyöktesztből, hogy ha k és n pozitív egészek, és \sqrt[k]{n} nem egész, akkor irracionális.

9. Adjunk meg végtelen sok olyan c > 0 egészt, amelyre az n^{4} + c (n = 1, 2, …) számok valamennyien összetettek.

10. Tegyük fel, hogy f ∈ ℤ[x], m ∈ ℤ és a/b ∈ ℚ, ahol (a, b) = 1. Mutassuk meg, hogy ha f(a/b) = 0, akkor a − mb | f(m).

11. Tegyük fel, hogy egy legfeljebb n-edfokú egész együtthatós polinom n + 1 egymás utáni egész helyen egész értéket vesz fel. Igazoljuk, hogy akkor minden egész helyen egész értéket vesz fel.

Typeset by AMS-TEX