Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Negyedik alkalom

Legyen n ≥ 1 és Φ_{n}(x) = (x−ξ_{1}) … (x−ξ_{φ(n)}), ahol ξ_{1}, …, ξ_{φ(n)} az összes primitív n-edik egységgyök (ez az úgynevezett n-edik körosztási polinom). Ekkor Φ_{n} ∈ ℤ[x], mert

∏_{d|n} Φ_{d}(x) = x^{n} − 1 .

A Schönemann-Eisenstein irreducibilitási kritérium azt mondja ki, hogy ha f egész együtthatós, nem konstans polinom, és van olyan p prímszám, mely osztja f minden együtthatóját a főegyüttható kivételével (amit nem oszt), és p^{2} nem osztja f konstans tagját, akkor f irreducibilis ℚ felett.

1. Legyen f ∈ ℚ[x] olyan n-edfokú polinom, melynek i hatszoros gyöke. Lehet-e n = 10? Adjuk meg az összes f-et, melyre n = 12. Ha f irreducibilis ℚ felett, mennyi lehet n?

2. Számítsuk ki a fenti rekurziós képlettel a Φ_{12}(x) polinomot, és a prímhatvány-indexű körosztási polinomokat. Bizonyítsuk be magát a képletet, és azt, hogy Φ_{n}(x) ∈ ℤ[x].

3. Bontsuk fel az alábbi polinomokat irreducibilis polinomok szorzatára ℂ és ℝ felett: x^{2} − x − 1, x^{2} + 2x + 2, x^{4} + 4.

4. Írjuk fel az összes másodfokú polinomot ℤ_{2} felett. Melyek lesznek irreducibilisek? Határozzuk meg a legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomokat ℤ_{2} felett.

5. Az alábbi polinomok közül melyekre alkalmazható közvetlenül a Schönemann-Eisen-stein kritérium: x^{11} + 2x + 18 , x^{11} + 2x + 12 , x^{11} + 12x + 5 , x^{11} + n (n =?).

6. A 6x^{4}−9x+1 polinomot modulo 3 vizsgálva igazoljuk, hogy irreducibilis ℚ felett. Ennek alapján fogalmazzunk meg, és bizonyítsunk be egy olyan irreducibilitási kritériumot, ami a Schönemann-Eisenstein tételből a polinom „megfordításával” keletkezik.

További feladatok

7. Bizonyítsuk be az algebra alaptételének felhasználásával, hogy minden páratlan fokú, valós együtthatós polinomnak létezik valós gyöke.

8. Mutassuk meg, hogy ha n > 1 páratlan, akkor Φ_{2n}(x) = Φ_{n}(−x).

9^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha p prím, akkor Φ_{p}(x) irreducibilis ℚ felett.

10. Legyen f ∈ ℤ[x] egy n-edfokú polinom, ahol n ≥ 1, p egy prímszám, és 0 < k < n. Legyen \overline{f} ∈ ℤ_{p}[x] az f modulo p véve. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha f irreducibilis ℤ felett, akkor \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett.

b) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℤ felett.

c) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℚ felett.

d) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, és \overline{f} foka n, akkor f irreducibilis ℚ felett.

e) Ha f-nek van ℤ felett k-adfokú tényezője, akkor \overline{f}-nak is van k-adfokú tényezője.

f) Az előző állítás akkor, ha azt is tudjuk, hogy \overline{f} foka n.

11^{∗}. Mely n > 0 esetén létezik végtelen sok olyan c pozitív egész szám, amelyre x^{n} + c nem irreducibilis ℚ fölött?

Typeset by AMS-TEX