Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Harmadik alkalom

A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. Legyen f(x) = (x−x_{1}) … (x−x_{n}) = x^{n} − σ_{1}x^{n−1} + σ_{2}x^{n−2} + ⋯ + (−1)^{n}σ_{n} (előjelek!). Ekkor

σ_{1}= x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}  \binom{n}{1} = n tag
σ_{k}= x_{1}x_{2} … x_{k} + …  \binom{n}{k}  tag
σ_{n}= x_{1}x_{2} … x_{n}  \binom{n}{n} = 1 tag.

A σ_{k} úgy keletkezik, hogy az x_{1}, …, x_{n} közül az összes lehetséges módon kiválasztunk k darabot, a kiválasztott x_{i}–ket összeszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

1. Legyenek a, b, c az x^{3} + x + 1 polinom gyökei. Mutassuk meg, hogy ezek páronként különbözők, majd írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek három gyöke

a) a − 1, b − 1, c − 1.

b) \overline{a}, \overline{b}, \overline{c}.

c) −a, −b, −c.

d) a + b, a + c, b + c.

e) 1/a, 1/b, 1/c.

f) ab, ac, bc.

g) a^{2}, b^{2}, c^{2}. Házi feladatként oldjuk meg a feladatot a 3x^{3} − 7x^{2} − 2x + 1 polinomra is.

2. Oldjuk meg a Cardano-képlettel az x^{3} − x − 6 = 0 és az x^{3} − 7x + 6 = 0 egyenleteket. A gyökvonásokat is végezzük el!

3. Van-e olyan f ∈ ℤ_{7}[x], hogy az \overline{1} az f-nek és f′-nek ugyanannyiszoros gyöke?

4. Mely c, d ∈ ℂ-re lesz a 3 kétszeres gyöke a 2x^{5} − 7x^{4} + 5x^{2} + cx + d polinomnak?

További gyakorló feladatok

5. Három szám reciprokainak összege megegyezik a három szám összegének a reciprokával. Mutassuk meg, hogy a három szám közül kettő egymásnak ellentettje.

6. Oldjuk meg a \sqrt[3]{1 + x}+ \sqrt[3]{1 − x} = −1 egyenletet a valós számok halmazán. Mi változik, ha a feladatot a komplex számok halmazán tekintjük?

7. Mely komplex együtthatós polinomok oszthatók a deriváltjukkal?

8. Mutassuk meg, hogy egy komplex együtthatós polinom minden nem nulla komplex gyökének a multiplicitása kisebb, mint a polinom nem nulla tagjainak a száma.

9. Legyen c ∈ ℂ adott. Mely f ∈ ℂ[x] polinomokra igaz, hogy f(α) = 0 ⟹ f(cα) = 0 minden α ∈ ℂ esetén?

10^{∗}. Legyen f valós együtthatós polinom, mely minden valós helyen pozitív értéket vesz fel. Mutassuk meg, hogy f előáll két valós együtthatós polinom négyzetösszegeként.

Typeset by AMS-TEX