Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Második alkalom

1. Legyen n pozitív egész.

a) Írjuk fel az x^{n} − 1, x^{4} + 1, x^{n} − z polinomokat gyöktényezős alakban ℂ felett, ahol z ∈ ℂ tetszőleges.

b) Mi lesz x^{12} − 1 és x^{16} + 1 legnagyobb közös osztója?

c) Határozzuk meg az n-edik komplex egységgyökök összegét és szorzatát az x^{n} − 1 polinom vizsgálatával.

d) Számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egy csúcsából az összes többi csúcsba húzott szakaszok hosszának szorzatát.

2. Egy tündér megsúgta nekünk, hogy az x^{4} + x + 1 polinomnak négy különböző komplex gyöke van. Határozzuk meg ezek összegét, szorzatát, négyzetösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét.

3. Legyen p > 0 prímszám.

a) Mutassuk meg, hogy a ℤ_{p} gyűrű test.

b) Mutassuk meg, hogy 0 < d < p esetén legfeljebb d (modulo p páronként inkongruens) megoldása van az x^{d} ≡ 1 (p) kongruenciának.

c) Írjuk fel az x^{p} − x ∈ ℤ_{p} polinomot gyöktényzős alakban.

d) Írjuk fel az x^{p−1} − 1 ∈ ℤ_{p} polinomot gyöktényzős alakban.

e) Vezessük le Wilson tételét az előző képletből.

f) Bizonyítsuk be, hogy ha p > 2, akkor az

N = (p − 1)! (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ⋯ + \frac{1}{p − 1})

egész szám osztható p-vel.

g) Mutassuk meg, hogy az N szám p > 3 esetén p^{2}-tel is osztható.

Házi feladatok

4. Számítsuk ki az x^{n} ± 1 és az x^{k} ± 1 ℂ feletti polinomok legnagyobb közös osztóját (az összes lehetséges variációban). Más lesz-e az eredmény akkor, ha ezeket ℚ feletti, polinomoknak tekintjük?

5. Egy f egész együtthatós polinom főegyütthatója 1, és f minden (komplex) gyöke 1-nél kisebb abszolút értékű. Adjuk meg f többi együtthatóját.

6. Egy f tizedfokú egész együtthatós polinomról tudjuk, hogy f(n) minden egész n–re osztható 11–gyel. Bizonyítsuk be, hogy ekkor szükségképpen f minden együtthatója is osztható 11–gyel.

7. Mutassuk meg, hogy ha az f(x^{n}) polinom osztható x−1-gyel, akkor osztható x^{n}−1-gyel is. Függ-e az állítás igazsága attól, hogy melyik test felett vagyunk?

8. Hozzuk egyszerűbb alakra az alábbi polinomot. (Az üres szorzat értéke 1.)

∑_{j=0}^{n}(−1)^{j} \frac{x(x − 1) … (x − j + 1)}{j!} .

Typeset by AMS-TEX