Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizenkettedik alkalom

1. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

2. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat a definíció alapján és Gauss-eliminációval is.

| \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |  | \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} |

3. Legyen T test, A ∈ T^{k×k}, B ∈ T^{m×m}, X ∈ T^{k×m} és O az m × k-s nullmátrix. Rakjuk össze az M mátrixot ebből a négy blokkból a következőképpen:

M = ( \begin{matrix}A & X \\ O & B \end{matrix} )

Igazoljuk, hogy det(M) = det(A) det(B).

4. Az előző feladat alapján igazoljuk, hogy ha egy determináns főátlója alatt csupa nulla áll, akkor a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzata. Igazoljuk azt is, hogy ha egy négyzetes mátrix determinánsa nem nulla, akkor Gauss-eliminációval ilyen alakra hozható.

5. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

6. Bizonyítsuk be, hogy ha egy n-edrendű, komplex elemű determinánsban a_{ij} az a_{ji} konjugáltja minden i, j-re, akkor a determináns értéke valós.

7. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat.

| \begin{matrix}1 & 2 & … & 2 \\ 2 & 2 & … & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 2 & 2 & … & n \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & x_{1} & … & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & … & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & x_{n} & … & x_{n}^{n−1} \end{matrix} |  | \begin{matrix}x & a & … & a \\ a & x & … & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a & a & … & x \end{matrix} |

További gyakorló feladatok

8. Legalább mennyi és legfeljebb mennyi lehet egy n elemű halmaz egy permutációjának inverziószáma? Fellép-e ezen két szélső érték között minden természetes szám alkalmas permutáció inverziószámaként?

9. Egy determináns minden sora számtani sorozat. Számítsuk ki a determinánst.

10. Egy determinánsban minden oszlopösszeg osztható héttel. Igazoljuk, hogy a determináns értéke is osztható héttel.

11. Hogyan változik egy mátrix determinánsa, ha a mátrixot tükrözzük a főátlójára, a vizszintes szimmetriatengelyére, a középpontjára; a középpontja körül 90 fokkal elforgatjuk?

12. Igazoljuk, hogy végtelen sok olyan 2 × 2-es mátrix van, amelynek minden eleme egész szám, determinánsa pedig 1. Igazoljuk a megfelelő állítást n × n-es mátrixokra, ha n ≥ 2.

Typeset by AMS-TEX