Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizenegyedik alkalom

1. Legyen T tetszőleges test.

a) Legyen T^{n×n}-ben J_{n} = ((1)), rögzített i, j-re pedig legyen E^{i,j} az a mátrix, amelynek (i, j)-edik eleme 1, az összes többi pedig 0. Tetszőleges A ∈ T^{n×n}-re és α ∈ T -re határozzuk meg az A(αI_{n}), (αI_{n})A, (αJ_{n})A, A(αJ_{n}), AE^{i,j}, E^{i,j}A szorzatokat.

b) Mik azok a T^{n×n}-beli mátrixok, amelyek minden T^{n×n}-beli mátrixszal felcserélhetők?

2. Az alábbi valós elemű mátrixok közül melyiknek létezik balinverze? Amelyeknek létezik, azoknak határozzuk is meg egy-egy balinverzét.

( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ −2 & −1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}2 & 3 \\ −4 & −6 \\ 1/3 & 1/2 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix} )

3. Legyen A ∈ T^{n×k}, B ∈ T^{k×ℓ} és tegyük fel, hogy A-nak is és B-nek is létezik bal (jobb) oldali inverze. Mutassuk meg, hogy akkor AB-nek is létezik bal (jobb) oldali inverze. Igaz-e az állítás megfordítása?

4. Számítsuk ki a 2. feladatban szereplő utolsó három mátrix rangját. Mik a lehetséges értékei egy n × k-as mátrix rangjának?

5. Legyen T test és A, B ∈ T^{n×k}. Igazoljuk, hogy r(A + B) ≤ r(A) + r(B).

6. Egy M mátrixot bal oldali nullosztónak nevezünk, ha van hozzá olyan nemnulla B mátrix, amelyre MB = 0. Igazoljuk, hogy egy mátrix pontosan akkor bal oldali nullosztó, ha nem létezik balinverze. Definiáljuk a megfelelő jobb oldali fogalmat, mondjuk ki és bizonyítsuk be rá az analóg állítást.

További gyakorló feladatok

7. Adjunk meg olyan Q^{5×5}-beli M mátrixot, amellyel tetszőleges Q^{5×5}-beli A mátrixot balról megszorozva azt a mátrixot kapjuk, amelynek első, második és negyedik sora megegyezik az A megfelelő sorával, harmadik sora az A második sorával, ötödik sora pedig az A első sorának és negyedik sora kétszeresének az összegével egyenlő.

8. Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az X^{2} = −I egyenlet? Adjuk meg az X^{2} = I egyenlet összes megoldását.

9^{∗}. Legyen T test, A, B ∈ T^{n×n}, és tegyük fel, hogy A + B = A · B.

a) Mutassuk meg, hogy A · B = B · A.

b) Helyes-e a következő bizonyítás: „Mivel A + B = A · B, és a mátrixösszeadás kommutatív, azért B · A = B + A = A + B = A · B”.

10^{∗}. Legyen T test és A, C ∈ T^{n×k}. Igazoljuk, hogy az alábbi tulajdonságok ekvivalensek:

(1) Minden \underline{b} ∈ T^{n}-re teljesül, hogy az A\underline{x} = \underline{b} lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor létezik megoldása, ha a C\underline{x} = \underline{b} lineáris egyenletrendszernek létezik megoldása.

(2) Léteznek olyan M és N mátrixok T^{k×k}-ban, amelyekre C = AM és A = CN.

(3) Létezik olyan invertálható M mátrix T^{k×k}-ban, amelyre C = AM és A = CM^{−1}.

Typeset by AMS-TEX