Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizedik alkalom

1. Altér-e a W halmaz a V vektortérben az alábbi esetekben?

a) V egy T test feletti polinomok szokásos vektortere T felett, W pedig azon polinomokból áll, melyeknek a foka páros, és még a zéruspolinomból.

b) V a komplex számok szokásos vektortere ℝ felett, és W a képzetes egyenes.

c) V a komplex számok vektortere ℂ felett, W ugyanaz, mint az előbb.

d) V a valós számok vektortere ℝ felett, és W a nemnegatív valós számok halmaza.

e) V a sík ℝ felett, W pedig az első és harmadik síknegyed uniója (a tengelyekkel együtt).

f) W egy összeadásra és tetszőleges skalárral való szorzásra zárt nem üres részhalmaz.

2. Legyen V a sík (helyvektorai), mint ℝ feletti vektortér.

a) Milyen alakzatot alkothat egy 1 illetve 2 elemmel generált altér?

b) Igazoljuk, hogy minden altér generálható két elemmel, és adjuk meg az összes alteret.

c) Hány altere van a ℤ_{2} test feletti ℤ_{2}^{2} és ℤ_{2}^{3} vektortereknek? És a ℤ_{7} feletti ℤ_{7}^{2}-nek?

3. Legyen V vektortér a T test felett.

a) Ha T = ℝ és V = ℝ[x], akkor igaz-e, hogy x ∈ ⟨x^{2} − 1, x^{2} − 2, 3x + 2⟩? És az, hogy ⟨x, x^{2} + 2, x + 2⟩ = ⟨1, x + 1, x^{2} + 1⟩?

b) Legyen λ ∈ T és u, v, w ∈ V. Igazoljuk, hogy ⟨u, v, v⟩ = ⟨u + λv, v, w⟩. Mikor igaz, hogy ⟨u, v, w⟩ = ⟨λu, v, w⟩?

c) Mi az az altér, amelyet a (végtelen) valós számsorozatok terében a monoton növő sorozatok generálnak?

d) Mutassuk meg, hogy egy 1 elemmel generált altérnek legfeljebb két altere lehet.

e) Ha U_{1} és U_{2} alterek V -ben, akkor legyen U_{1} + U_{2} = {u_{1} + u_{2} | u_{1} ∈ U_{1}, u_{2} ∈ U_{2}}. Bizonyítsuk be, hogy ⟨U_{1} ∪ U_{2}⟩ = U_{1} + U_{2}.

4. Az alábbiakban négy bizonyítást adunk arra, hogy egy altér nulleleme megegyezik a vektortér nullelemével, ezek közül azonban csak az egyik helyes. Melyik a helyes, és mi a hiba a többiben? (Altéren itt olyan W részhalmazt értünk, ami maga is vektortér V összeadására és skalárral való szorzására nézve. A V nullelemét 0_{V}, a W -ét 0_{W} jelöli.)

a) Mivel 0_{V} + v = v minden v ∈ V -re, tehát W elemeire is teljesül, ezért 0_{V} definíció szerint W -nek is nulleleme. A W -beli nullelem egyértelműsége alapján így 0_{W} = 0_{V}.

b) Ha 0_{W} ≠ 0_{V} lenne, akkor V -ben két nullelem lenne, ami ellentmond a V -beli nullelem egyértelműségének.

c) Legyen v ∈ W tetszőleges. Ekkor 0_{V} + v = v és 0_{W} + v = v egyaránt fennáll, tehát 0_{V} + v = 0_{W} + v. Itt mindkét oldalhoz a v vektor W -beli [a negyedik bizonyításban: V -beli] ellentettjét hozzáadva a kívánt 0_{V} = 0_{W} egyenlőséget kapjuk.

5. Legyen W altere az ℝ feletti V vektortérnek, és u, v ∈ V. Tegyük fel, hogy 2u+6v ∈ W és 3u + v ∈ W. Következik–e ebből, hogy u, v ∈ W?

6. Ha egy V vektortér vektoraira a ∉ ⟨b, c⟩, b ∉ ⟨a, c⟩ és c ∈ ⟨a, b⟩, akkor mi a c?

7. Mutassuk meg, hogy ha egy ℝ feletti vektortérnek véges sok altere van, akkor az alterek száma 1 vagy 2. Milyen T testek felett igaz még ez az állítás? Hány n − 1-dimenziós altere van egy ℝ feletti n-dimenziós vektortérnek?

Typeset by AMS-TEX