Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Első alkalom

Ezen a feladatsoron minden gyűrű kommutatív és egységelemes. A modulo n maradékosztályok gyűrűjét ℤ_{n} jelöli.

1. Végezzük el az alábbi műveleteket a racionális együtthatós polinomok körében, és állapítsuk meg az eredmény fokát.

a) (x^{3} + 3x^{2} + 2) − (x^{3} + 3x − 4)

b) (x^{2} + 5x + 3)(x^{2} + 2)

c) x^{3} − 2 : 2x^{2} + 2x − 3 (Mi a hányados és a maradék?)

2. Legyen R = ℤ_{8}.

a) Adjunk meg két másodfokú polinomot R felett úgy, hogy a szorzatuk elsőfokú legyen!

b) Adjuk meg az x^{2} − 1 polinom összes gyökét R-ben, és végezzük el a megfelelő gyöktényező kiemelését. Kiemelhető-e egyszerre az összes gyöktényező?

3. Legyen p prím, és jelölje R a ℤ_{p} feletti polinomfüggvények gyűrűjét.

a) Írjuk fel táblázatosan a ℤ_{2} feletti x, x^{2}, x^{3}, x + \overline{1}, x^{2} + x, x^{2} + x + \overline{1}, x^{3} + x^{2} polinomokhoz tartozó polinomfüggvényeket. Megkaptunk-e minden lehetséges függvényt ezen a halmazon? Hány polinom, és hány polinomfüggvény van ℤ_{2} felett?

b) Készítsük el a p = 2 esetben R összeadási és szorzási táblázatát. Nullosztómentes gyűrűt kaptunk-e? Mik az invertálható elemek?

c) Mutassuk meg, hogy az f ∈ ℤ_{2}[x] polinomhoz tartozó polinomfüggvény akkor és csak akkor azonosan nulla, ha x^{2} − x | f.

d) Mi lesz az x^{p} − x-hez tartozó polinomfüggvény?

e) Mutassuk meg, hogy R semmilyen p-re sem nullosztómentes.

f) Mutassuk meg, hogy p = 3 esetén van olyan invertálható eleme R-nek, ami nem konstans függvény.

Házi feladatok

4. Írjuk fel az f = ∑_{j=0}^{n} a_{j}x^{j} és f = ∑_{j=0}^{m} b_{j}x^{j} polinomok szorzatában az x^{k}-os tag együtthatóját a szumma-jelölés segítségével.

5. Legyen R tetszőleges kommutatív gyűrű, f = a_{k}x^{k} + a_{k−1}x^{k−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} ∈ R[x] és c ∈ R. Definiáljuk a b_{k−1}, b_{k−2}, …, b_{0}, b_{−1} elemeket a következő rekurzióval: b_{k−1} = a_{k}, és b_{i} = c · b_{i+1} + a_{i+1}, ahol i = k − 2, k − 3, …, 0, −1. Bizonyítsuk be, hogy ekkor f = (x − c)(b_{k−1}x^{k−1} + ⋯ + b_{0}) + b_{−1}.

6. Mit kapunk maradékul, ha az x^{1996} polinomot maradékosan osztjuk x^{2} + x + 1–gyel? (Ötlet: mik x^{2} + x + 1 komplex gyökei?)

7. Legyen f ∈ ℝ[x], melyre f(i) = 0. Igazoljuk, hogy x^{2} + 1 | f.

8. Legyen R nullosztómentes gyűrű. Határozzuk meg az R[x] polinomgyűrű invertálható elemeit.

9. Legyen T véges test. Mutassuk meg, hogy a T feletti polinomfüggvények gyűrűje véges, és nem nullosztómentes.

Typeset by AMS-TEX