Mat-tanári algebra félsáv, hatodik félév Harmadik vizsga — megoldások

2. A D_{4}-gyel, mert a D_{4}, mint a négyzet csúcsain ható permutációcsoport, részcsoportja S_{4}-nek, és rendje pont 8.

3. Legyen K egy 27 elemű test, és álljon G az ax + b alakú leképezések csoportjából, ahol a ≠ 0. A 0 majd az 1 stabilizátorát megnézve látjuk, hogy ez jó. Mellesleg G a törtlineáris leképezések csoportjában a ∞ stabilizátora.

4. Ha ∑ n_{i} = |G| = ∑ n_{i}^{2}, akkor n_{i} ≤ n_{i}^{2} miatt ez csak úgy lehet, ha n_{i} = 1 minden i-re, azaz pont az Abel-csoportok a jók.

5. A χ tartalmazza a főkaraktert, mert a vele vett skaláris szorzata 1. Ezt levonva már irreducibiliset kapunk, hiszen a kapott karakter skalárnégyzete 1 (ez a karakter χ_{4} az alábbi táblázatban). A b)-beli karakter kiszámításához a megfelelő mátrixok nyomát kell venni, számolással az alábbi χ_{5} jön ki. Mivel S_{4} kommutátorrészcsoportja A_{4}, két lineáris karakter van: a főkarakter és az előjelképzés. Ezért a ∑ n_{i}^{2} = 24 összefüggés miatt már csak egy darab másodfokú karakternek marad hely, ennek értékei az ortogonalitási relációkból adódnak. A teljes karaktertábla:

\begin{matrix}S_{4} & 1 & (12)(34) & (123) & (12) & (1234) \\ 24 & 1 & 3 & 8 & 6 & 6 \\ χ_{1} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ χ_{2} & 1 & 1 & 1 & −1 & −1 \\ χ_{3} & 2 & 2 & −1 & 0 & 0 \\ χ_{4} & 3 & −1 & 0 & 1 & −1 \\ χ_{5} & 3 & −1 & 0 & −1 & 1 \end{matrix}

Typeset by AMS-TEX