Mat-tanári algebra félsáv, hatodik félév Első vizsga — megoldások

1. Nincs, hiszen minden kommutátor nyilvánvalóan páros permutáció.

2. Ilyen például két különböző hosszúságú diszjunkt útnak az uniója, hiszen mindkét utat meg lehet fordítani külön-külön (ez a négy permutáció nyilván Klein-csoportot alkot), és más permutáció nincs, hiszen elsőfokú pont elsőfokúba mehet csak, de a két út egymásba nem mehet át.

3. Legyen n a 13-Sylow részcsoportok száma. Ekkor 468 = 4·9·13 miatt, a Sylow-tételeket a stencilben leírt módon alkalmazva kapjuk, hogy n | 4 · 9 és n ≡ 1 (13). Ezért n = 1, és így az egyetlen 13-Sylow részcsoport normálosztó.

4. k = 1. A hatás nyilván tranzitív (a forgatások is már mindent mindenhova elvisznek), de nem 2-tranzitív, mert élt átlóba nem lehet elvinni egybevágósággal.

7. A konjugált osztályok száma 4 és ezért még egy irreducibilis karakter létezik. A csoport rendje 1 + 4 + 4 + 3 = 12, ez egyenlő az irreducibilis karakterek fokainak négyzetösszegével, a keresett χ_{4} foka tehát 3. Az egységelemet nyilván K_{1} tartalmazza, hiszen csak ez a konjugált osztály egyelemű. Tehát χ_{4} értéke a K_{1}-en 3. A többi értéket az ortogonalitási relációk felírásával kaphatjuk meg (vigyázzunk, a konjugált osztályok elemszámát is figyelembe kell venni). A kapott egyenletrendszerből adódik, hogy χ_{4} sora 3, 0, 0, −1.

A karakterek magját megadó képletből kapjuk, hogy χ_{1} magja G, a χ_{2} és a χ_{3} magja N = K_{1} ∪K_{4}, a χ_{4}-é pedig csak az egységelemből áll. Az első három karakter centruma G, a negyediké viszont K_{1}, és így a csoport centruma, azaz ezek metszete is csak az egységelemből áll. Végül a kommutátorrészcsoport az N lesz. Valóban, minden elsőfokú karakter magja tartalmazza a kommutátorrészcsoportot, hiszen az elsőfokú karakterek egy kommutatív csoportba való homomorfizmusok. Ezért a kommutátorrészcsoport része az N-nek. Mivel normálosztó, konjugált osztályok egyesítése, és így vagy N, vagy K_{1}. De ha K_{1}, azaz egyelemű lenne, akkor G kommutatív lenne, ami nem lehet (hiszen akkor centruma az egész G lenne, és mellesleg 12 irreducibilis karaktere és 12 egyelemű konjugált osztálya lenne).

Typeset by AMS-TEX