Mat-tanári algebra félsáv, hatodik félév Vizsgadolgozat — 1996. július 3.

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző neve. Valamennyi megoldásban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Mondjuk ki precízen a kártyakeverési tételt (3 pont).

2. Mondjuk ki pontosan a Sylow-tételeket (3 pont). Bizonyítsuk be ezek közül a q rendű csoportok számáról szóló állítást (6 pont). Döntsük el, melyik ismert csoporttal izomorf az S_{4} szimmetrikus csoport 2-Sylow részcsoportja (3 pont).

3. Adjunk meg egy 27 elemű halmazon ható olyan permutációcsoportot, ami 2-tranzitív, de nem 3-tranzitív (3 pont).

4. Határozzuk meg azokat a véges csoportokat, melyekre az irreducibilis karakterek fokainak összege a csoport rendjével egyenlő (3 pont).

5. Legyen G az S_{4} szimmetrikus csoport.

a) Bontsuk fel azt a χ karaktert irreducibilisek összegére, ami minden elemhez a fixpontjainak számát rendeli (3 pont). Azt elfogadjuk, hogy ez tényleg egy karakter.

b) Tudjuk, hogy G a kocka irányítástartó egybevágóságainak csoportja (ezt nem kell bizonyítani). Adjuk meg az innen kapott reprezentáció karakterét. (3 pont).

c) Számítsuk ki a teljes karaktertáblát (3 pont).

Typeset by AMS-TEX