Mat-tanári algebra félsáv, hatodik félév Vizsgadolgozat — 1996. május 30.

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző neve. Valamennyi megoldásban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Mondjuk ki precízen a kártyakeverési tételt (3 pont).

2. Mondjuk ki pontosan a Sylow-tételeket (3 pont).

a) Mutassuk meg a klasszifikáció felhasználása nélkül, hogy nincs 198 rendű egyszerű csoport (3 pont).

b) Izomorfia erejéig hány 99 rendű csoport van? Indoklásként elegendő a megfelelő általános tételekre hivatkozni (3 pont).

3. Adjunk meg egy tízelemű halmazon ható olyan permutációcsoportot, ami 3-tranzitív, de nem 4-tranzitív (3 pont).

4. Definiáljuk komplex feletti vektortérben a skaláris szorzat (1 pont) és az unitér transzformáció (1 pont) fogalmát. Adjuk meg az unitér transzformációk jellemzését alkalmas mátrixuk segítségével (1 pont, bizonyítani nem kell).

5. Mondjuk ki precízen (1 pont) és bizonyítsuk be (5 pont) azt a tételt, ami a reprezentáció magját adja meg a reprezentáció karaktere segítségével. A lineáris algebrai segédtételeket ki kell mondani, de nem kell bizonyítani.

6. Egy G csoport konjugált osztályai K_{1} = {1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}, K_{5}, K_{6}, ezek elemszámai rendre 1, 1, 2, 2, 3, 3. A csoport karaktertáblájának alábbi részletét ismerjük:

K_{1}  K_{2}  K_{3}  K_{4}  K_{5}  K_{6}
χ_{1}  1  1  1  1  −1  −1
χ_{2}  1  −1  −1  1  1  −1
χ_{3}  1  −1  −1  1  −1  1
χ_{4}  ?  −2  1  −1  0  0

Határozzuk meg G karaktertábláját (5 pont) és az irreducibilis karakterek centrumait (1 pont).

Typeset by AMS-TEX