Mat-tanári algebra félsáv, hatodik félév Vizsgadolgozat — 1996. május 16.

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző neve. Valamennyi megoldásban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Definiáljuk a kommutátor fogalmát (1 pont). Döntsük el, van-e olyan x, y ∈ S_{1996}, melyre [x, y] = (12) (2 pont).

2. Adjunk meg egy olyan irányítatlan gráfot, melynek szimmetriacsoportja a Klein-csoport (3 pont).

3. Mondjuk ki pontosan a Sylow-tételeket (3 pont). Mutassuk meg a klasszifikáció felhasználása nélkül, hogy nincs 468 rendű egyszerű csoport (3 pont).

4. Definiáljuk a k-tranzitív hatás fogalmát (1 pont). Adjuk meg azt a legnagyobb k egészet, melyre a D_{4} diédercsoport k-tranzitívan hat a négyzet csúcsain (2 pont).

5. Legyen q prímhatvány. Adjuk meg a q-ad rendű véges projektív síkok konstrukcióját (3 pont). Bizonyítani semmit nem kell.

6. Mondjuk ki precízen (1 pont) és bizonyítsuk be (5 pont) Maschke tételét. A két elhangzott bizonyítás bármelyikét szabad reprodukálni, de az esetleges segédtételeket is bizonyítani kell.

7. Egy G csoport konjugált osztályai K_{1}, K_{2}, K_{3}, K_{4}, ezek elemszámai rendre 1, 4, 4, 3. A csoportnak ismerjük három irreducibilis karakterét:

K_{1}  K_{2}  K_{3}  K_{4}
χ_{1}  1  1  1  1
χ_{2}  1  ε  ε^{2}  1
χ_{3}  1  ε^{2}  ε  1

(itt ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}). Határozzuk meg G karaktertábláját (3 pont), az irreducibilis karakterek magjait (1 pont), a G csoport centrumát (1 pont) és kommutátor-részcsoportját (1 pont). Egy normálosztót akkor tekintünk meghatározottnak, ha tudjuk, hogy mely konjugált osztályok egyesítése.

Typeset by AMS-TEX