Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Kilencedik feladatsor (2003. május 6)

1. Határozzuk meg az {1, 2, …, 100} halmaz alábbi permutációiban az inverziók számát: a) Előről hátra: f(i) = 101 − i;

b) Utolsó pár előre fuss: f(i) = i + 1 ha i < 100 és f(100) = 1;

c) f(i) = 2i ha 1 ≤ i ≤ 50 és 2(i − 50) − 1 ha 51 ≤ i ≤ 100;

d) f(i) = 2i ha 1 ≤ i ≤ 50 és 2(100 − i) + 1 ha 51 ≤ i ≤ 100.

2. Legyen f az {1, 2, …, n} halmaz egy permutációja, és legyen g az a permutáció, amelyre g(i) = n + 1 − f(i). Mi a kapcsolat f és g inverzióinak száma között?

3. Mutassuk meg, hogy egy n elemű halmaz egy permutációjának inverziószáma bármilyen n(n − 1)/2-nél nem nagyobb (nemnegatív egész) szám lehet, de ennél nagyobb nem.

4. Fejtsük ki a VIII/6 feladat determinánsait az utolsó soruk illetve oszlopuk szerint.

5. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

6. Igazoljuk, hogy ha egy páratlan sok sorból álló négyzetes mátrixban a főátlóra szimmetrikusan elhelyezkedő elemek egymás ellentettjei, akkor a determinánsa nulla. Mi történik, ha a feltevést úgy módosítjuk, hogy a megfelelő elemek egymás konjugáltjai legyenek?

7. Igazoljuk, hogy a transzponált mátrix determinánsa megegyezik az eredeti mátrix determinánsával.

8. Igazoljuk, hogy ha egy determináns két sorát kicseréljük, akkor az ellentettjére változik.

9. Igazoljuk, hogy ha egy determináns főátlója alatt minden elem nulla, akkor a determináns értéke a főátlóbeli elemek szorzata.

10. Mi lehet egy olyan determináns értéke, amelynek minden sora számtani sorozat?

11. Leírunk egymás alá tíz darab tízjegyű számot, amelyek mindegyike osztható héttel. Igaz-e hogy a számjegyeikből készített tízszer tizes determináns is osztható héttel?

12. Mutassuk meg, hogy ha egy n × n-es valós mátrix determinánsa 1024, akkor felírható olyan valós mátrixok szorzataként, amelyek determinánsa kettő.

13^{∗}. Hogyan változik egy n × n-es mátrix determinánsa, ha megfordítjuk az oszlopok sorrendjét; ha tükrözzük a mellékátlójára; ha plusz kilencven fokkal elforgatjuk?

14^{∗}. Mely determinánsok nem változnak meg, ha bármely két elemüket fölcseréljük?

15^{∗}. Legyen a_{1}, … a_{n} ∈ ℝ, és f_{1}, …, f_{n} legfeljebb n − 2-edfokú valós együtthatós polinomok. Mi lesz annak a determinánsnak az értéke, ahol az i-edik sor j-edik eleme f_{i}(a_{j})?

16. Adjunk képletet egy általános kétszer kettes mátrix inverzére (vö. VI/2).

17. Mutassuk meg, hogy két invertálható n × n-es mátrix szorzata is invertálható.

18. Adjunk meg végtelen sok olyan valós mátrixot, aminek az inverze önmaga.

19. Mutassuk meg, hogy egy egész számokból álló négyzetes mátrixnak akkor és csak akkor van csupa egész számokból álló inverze, ha a determinánsa 1 vagy −1.