Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Nyolcadik feladatsor (2003. április 29)

1. Az alábbi sormátrixok halmazából válasszunk ki minél több elemű lineárisan független rendszert: \underline{a} = [1, 2, 4], \underline{b} = [1, 1, 2], \underline{c} = [0, 1, 2], \underline{d} = [0, 0, 3].

2. Döntsük el, hogy az alábbi rendszerek lineárisan függetlenek-e, összefüggők-e, illetve lehetnek-e ilyenek is és olyanok is:

a) lineárisan független rendszerből elhagyunk egyet;

b) lineárisan független rendszerhez hozzáveszünk egyet;

c) lineárisan összefüggő rendszerből elhagyunk egyet;

d) lineárisan összefüggő rendszerhez hozzáveszünk egyet;

e) a rendszer egyik eleme egy másiknak a négyszerese;

f) a rendszer egyik eleme két másiknak az összege;

g) a rendszer egyik eleme a csupa nullából álló oszlopmátrix.

3. Legyen \underline{a}_{1}, …, \underline{a}_{n} lineárisan független rendszer. Függetlenek-e az alábbi rendszerek? a) \underline{a}_{1} + \underline{a}_{2} + … + \underline{a}_{n}, \underline{a}_{2} + … + \underline{a}_{n}, …, \underline{a}_{n−1} + \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n};

b) \underline{a}_{1} − \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} − \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} − \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n} − \underline{a}_{1} ;

c) \underline{a}_{1} − \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} − \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} − \underline{a}_{n};

d) \underline{a}_{1} + \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} + \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} + \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n} + \underline{a}_{1} ;

e) \underline{a}_{1} − \underline{a}_{2} , \underline{a}_{2} − \underline{a}_{3} , …, \underline{a}_{n−1} − \underline{a}_{n}, \underline{a}_{n}.

4. Adjuk meg az alábbi permutációk inverziószámát és előjelét.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 8 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c & d & e \\ c & a & e & b & d \end{matrix} )

5. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

6. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat Gauss-eliminációval.

| \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |  | \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} |

7. Számítsuk ki a következő n × n-es mátrixok determinánsát.

a) A főátlóban d_{1}, … d_{n} van, másutt nulla.

b) A főátlóban d_{1}, … d_{n} van, felette bármi, alatta nulla.

c) A főátló feletti ferde sorban d_{1}, … d_{n−1} van, a bal alsó sarokban d_{n}, másutt nulla.

d) Az i-edik sor j-edik eleme i + j.

e) Az i-edik sor j-edik eleme ij.

f) A főátlóban végig b van, másutt mindenütt c.

g) A főátlóban végig 2 van, a vele párhuzamos, mellette levő két vonalon 1, másutt nulla.

h) A főátló végig b, a mellékátló végig c, itt n páros.

i) A főátlóban álló elemek rendre 1, 0, 0, …, 0, 2, a főátló fölött minden elem 1-es, az első oszlop minden eleme 1-es, a többi elem nulla.