Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Hetedik feladatsor (2003. április 8)

1. Adjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszerek általános megoldását. Az első egyenletrendszer mely megoldásában minimális az ismeretlenek négyzetösszege?

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & + & 6 & z & = & 14 \\ −3 & x & & & & + & 2 & z & = & 3 \\ & x & − & 6 & y & + & 14 & z & = & 31 \end{aligned}  \begin{aligned}HF: & & x & − & y & + & z & + & & t & = & 2 \\ & −3 & x & & & & & + & 3 & t & = & 0 \\ & −2 & x & − & y & + & z & + & 4 & t & = & 2 \\ & 4 & x & − & y & + & z & − & 2 & t & = & 2 \end{aligned}

2. Tekintsünk egy n ismeretlenes, m egyenletből álló, ℝ feletti lineáris egyenletrendszert, melynek t darab (valós) megoldása van (t = ∞ is lehetséges). Töltsük ki az alábbi táblázatokat: I jelentse azt, hogy ilyen eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem.

Általános t = 0 t = 1 t = ∞

n < m n = m n > m

Homogén  t = 0  t = 1  t = ∞ n < m n = m n > m

3. Van-e olyan egész együtthatós lineáris egyenletrendszer, ami ℚ felett ellentmondásos, ℤ_{2} felett egynél több megoldása van, és ℤ_{3} felett pontosan 1?

4. Ha egy ℚ feletti homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális komplex megoldása, akkor hány racionális megoldása van?

5. Ha egy ℝ feletti lineáris egyenletrendszernek van komplex, nem valós megoldása, akkor hány valós megoldása van? Ha van két valós megoldás, akkor van nem valós megoldás is?

6. Adott n szám úgy, hogy közülük bármely n − 1 összege 2003. Melyek ezek a számok?

7. Adott a ≠ b számok esetén oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

a x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + b x_{n} = 1
a x_{1} + a x_{2} + … + b x_{n−1} + a x_{n} = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + a x_{n} = n

8. Van 9 különböző tárgyunk. Tudjuk, hogy bármely nyolcat kiválasztva közülük, ezek két (diszjunkt) 4-es csoportba oszthatók úgy, hogy az egyik csoportban levő tárgyak össztömege megegyezzen a másik csoportba tartozók össztömegével. Mutassuk meg, hogy mind a 9 tárgy tömege egyenlő.

9. Oldjuk meg a következő egyenleteket:

x [ \begin{matrix}−1 \\ 3 \\ 2 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ] + z [ \begin{matrix}3 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}2 \\ 4 \\ 10 \end{matrix} ] , x [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ] + z [ \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}11 \\ −7 \\ 2 \end{matrix} ] ,

x [ \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} ] + y [ \begin{matrix}3 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ] + z [ \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}11 \\ −7 \\ 4 \end{matrix} ] ,  [ \begin{matrix}1 & 2 & 4 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix} ] · X = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] .