Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Ötödik alkalom (2003. március 18)

Módszerek az irreducibilitás eldöntésére ℚ és ℤ felett:

– Egy nem konstans polinom akkor és csak akkor irreducibilis ℤ felett, ha irreducibilis ℚ felett, és primitív.

– Egy másod- vagy harmadfokú polinom akkor és csak akkor irreducibilis ℚ felett, ha nincs racionális gyöke (használjuk a racionális gyöktesztet).

– Bontsuk fel a polinomot ℂ vagy ℝ felett, és használjuk a felbontás egyértelműségét.

– A Schönemann-Eisenstein kritérium.

– f akkor és csak akkor irreducibilis ℚ felett, ha egy eltoltja (f(x + c), c ∈ ℚ) az.

– Ha f ∈ ℤ[x], akkor vizsgáljuk modulo p, ahol p prímszám.

1. Számítsuk ki a Φ_{n} körosztási polinomot, ha n ≤ 12, és ha n prímhatvány.

2. Bontsuk fel az x^{4} − 10x^{2} + 1 polinomot ℝ felett felbonthatatlanok szorzatára (segítség a számoláshoz: a polinomnak gyöke a \sqrt{2} + \sqrt{3}). A kapott felbontást, és az alaptétel egyértelműségi állítását kihasználva adjuk meg a ℚ feletti felbontást is.

3. Bontsuk ℤ felett felbonthatatlanok szorzatára a 30x^{2}+24 és 10x^{2}+15x+6 polinomokat.

4. Az alábbi polinomok közül melyekre alkalmazható közvetlenül a Schönemann-Eisen-stein kritérium: x^{11} + 2x + 18 , x^{11} + 2x + 12 , x^{11} + 12x + 5 , x^{11} + n (n =?).

5. Legyen f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{1}x + a_{0} ∈ ℤ[x], és p prím. Tegyük fel, hogy az a_{n}, a_{n−1}, …, a_{1} együtthatók mindegyike osztható p-vel, a_{0} nem osztható p-vel, és a_{n} nem osztható p^{2}-tel. Igazoljuk, hogy ha degf > 0, akkor f irreducibilis ℚ felett.

6. Irreducibilis-e ℚ felett x^{3} + 3 , x^{3} − 4 , x^{10} + 10 , x^{4} + 1 , x^{4} + 2 , 2x^{4} + 2x^{2} + 1 , x^{3} + 9 , x^{6} − 10x + 10 , x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1?

7. Legyen p prím. Igazoljuk, hogy x^{5} + p^{2} irreducibilis ℚ fölött.

8. Van-e olyan legalább másodfokú ℚ[x]-beli f polinom, amelyhez tetszőleges r racionális számot adva, a kapott f + r polinom mindig irreducibilis ℚ felett?

9. Van-e olyan legalább másodfokú ℚ[x]-beli f polinom, amelyhez tetszőleges r racionális számot adva, a kapott f + r polinom sohasem irreducibilis ℚ felett?

10. Legyenek a_{1}, …, a_{n} egymástól különböző egész számok. Mutassuk meg, hogy ekkor az (x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) − 1 polinom irreducibilis ℚ fölött.

11. Legyenek a_{1}, …, a_{n} egymástól különböző egész számok. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan, akkor az (x − a_{1})(x − a_{2}) … (x − a_{n}) + 1 polinom irreducibilis ℚ fölött.

12. Irreducibilisek-e az alábbi polinomok?

a) ℂ illetve ℝ felett x^{7} + x + 1, x^{2} − 2, x^{2} + x + 1.

b) ℚ felett 3x^{7} − x^{6} + 6x^{2} + 2x − 2, 3x^{7} − 6x^{6} + 6x^{2} + 3x − 2, 3x^{7} − 6x^{6} + 6x^{2} + 2x − 2, x^{16} + 1, x^{16} + 2, x^{4} − 14x^{2} + 9, x^{4} − x^{2} + 1, 3x^{7} + 6x − 18, x^{5} + 4.

c) ℤ felett x^{4} + 2x + 27, 3x^{7} + 6x − 18, x^{6} + 1, x^{3} + 7x − 3, x^{4} + 3x^{3} + x^{2} + 1.

d) ℤ_{2} felett x^{8} + x^{2} + 1, x^{5} + x + 1, x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1, x^{5} + x^{3} + 1.

e) ℤ_{17} felett x^{2} + 1, x^{4} + 1, x^{8} + 1, x^{17} + 1, x^{17} + 2.