Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Negyedik alkalom (2003. március 11)

Ha f(x) = (x − x_{1}) … (x − x_{n}) = x^{n} − σ_{1}x^{n−1} + σ_{2}x^{n−2} + ⋯ + (−1)^{n}σ_{n}, akkor a gyökök és együtthatók közötti összefüggések a következők:

σ_{1}= x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}  \binom{n}{1} = n tag
σ_{k}= x_{1}x_{2} … x_{k} + …  \binom{n}{k}  tag
σ_{n}= x_{1}x_{2} … x_{n}  \binom{n}{n} = 1 tag.

A σ_{k} úgy keletkezik, hogy az x_{1}, …, x_{n} közül az összes lehetséges módon kiválasztunk k darabot, a kiválasztott x_{i}–ket összeszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

1. Igazoljuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket másod- és harmadfokú polinomokra, majd általában is. Határozzuk meg a 2x^{4} + 2x + 3 polinom komplex gyökeinek összegét, szorzatát, négyzetösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét.

2. Legyen n pozitív egész. Az n-edik komplex egységgyökök közül minden lehetséges módon kiválasztunk három különbözőt, és ezeket összeszorozzuk. Mi az összege ezeknek a szorzatoknak?

3. Bizonyítsuk be, hogy egy x^{18} +3x^{17} +100x^{16} +a_{15}x^{15} +…+a_{1}x+a_{0} alakú polinomnak nem létezik gyöktényezős alakja ℝ-ben (azaz nem lehet minden komplex gyöke valós).

4. Legyen p prímszám.

a) Írjuk föl a ℤ_{p}[x]-beli x^{p−1} − 1 polinomot gyöktényezős alakban.

b) Adjunk a fenti gyöktényezős alak segítségével új bizonyítást a Wilson tételre.

c) Az előbbi módszerrel számítsuk ki az 1^{2} +2^{2} +⋯+(p−1)^{2} összeg maradékát mod p.

5. Legyenek a, b, c az x^{3} + 3x + 1 polinom (komplex) gyökei. Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek gyökei a^{2}, b^{2}, c^{2}, illetve a+b, a+c, b+c. (Eredmény: x^{3} +6x^{2} +9x−1 illetve x^{3} + 3x − 1.)

6. Milyen összefüggést kell kielégíteniük a komplex együtthatós x^{3} + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0} polinom együtthatóinak ahhoz, hogy a polinom

a) valamelyik gyöke megegyezzen a másik két gyök összegével;

b) valamelyik gyöke megegyezzen a másik két gyök szorzatával;

c) gyökei számtani sorozatot alkossanak?

7. Legyen f ∈ ℚ[x] olyan n-edfokú polinom, melynek i hatszoros gyöke. Lehet-e n = 10? Adjuk meg az összes ilyen polinomot, melynek foka 12. Mutassuk meg, hogy ha g ∈ ℝ[x] és α ∈ ℂ, akkor α és \overline{α} ugyanannyiszoros gyöke g-nek.

8. Bontsuk fel az x^{4} + 9 polinomot ℂ, ℝ, ℚ fölött irreducibilisek szorzatára. Feltehető-e egy ilyen felbontásban, hogy a tényezők normált polinomok (azaz főegyütthatójuk 1)?

9. Legyen c pozitív egész szám. Mi annak a szükséges és elégséges feltétele, hogy x^{4} − c irreducibilis legyen ℝ illetve ℚ fölött? Mi a helyzet negatív c esetén?