Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Harmadik alkalom (2003. március 4)

1. Döntsük el, hogy az f(x) = x^{6} − 4x^{4} + x^{3} − x^{2} + 4 polinomnak gyöke-e a 2 szám, és írjuk is fel f(x)-et (x − 2)g(x) + f(2) alakban.

2. Hányszoros gyöke az x^{4} − x^{3} − x + 1 polinomnak az 1?

3. Írjuk fel az x^{3} −1, az x^{2} +x+1, az x^{2} −x+1 és az x^{4} −x^{2} +1 polinomokat gyöktényezős alakban. Honnan ismerősek a gyökök?

4. Írjuk fel az x^{4} +4 polinomot gyöktényezős alakban, és ellenőrizzük beszorzással az eredményt. Hogyan lehetne ezt a polinomot valós együtthatós polinomok szorzatára bontani?

5. Mutassuk meg, hogy ha két n-edfokú komplex együtthatós polinom n (komplex) helyen megegyezik, és a főegyütthatóik egyenlők, akkor a polinomok is egyenlők.

6. Legyenek ε_{1}, …, ε_{n} az összes n-edik egységgyökök.

a) Bizonyítsuk be, hogy x^{n} − 1 = (x − ε_{1}) … (x − ε_{n}).

b) Számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egy csúcsából az összes többi csúcsba húzott szakaszok hosszának szorzatát.

7. Írjuk fel az x^{n} + 1 és az x^{2n} − x^{2n−1} + − ⋯ − x + 1 polinomokat gyöktényezős alakban.

8. Legyen n és k pozitív egész. Számítsuk ki az alábbi kitüntetett közös osztókat. Ugyanazt az eredményt fogjuk kapni ℂ és ℚ fölött is?

a) (x^{n} − 1, x^{k} − 1).

b) (x^{n} − 1, x^{k} + 1).

c) (x^{n} + 1, x^{k} + 1).

9. Igazoljuk, hogy egy ℝ[x]-beli másodfokú polinom pontosan akkor irreducibilis ℝ fölött, ha nincsen valós gyöke.

10. Bontsuk fel a következő polinomokat az ℝ fölött irreducibilis polinomok szorzatára: x^{4} − 1, x^{6} − 4x^{3} + 3, x^{4} + 1, x^{4} + 4.

11. Igaz-e ℤ_{2}[x]-ben, hogy egy másodfokú polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha nincs ℤ_{2}-ben gyöke? Igaz-e ez az állítás harmadfokú polinomra? És negyedfokúra? Írjuk fel az összes legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomot ℤ_{2}[x]-ben.

12. Bontsuk fel a ℤ_{2}[x]-beli x^{6} +x^{2} +x+1 polinomot ℤ_{2}[x]-beli irreducibilisek szorzatára.

13. Adjunk meg olyan 2003-adfokú polinomot ℤ_{2}[x]-ben, amelynek nincsen gyöke ℤ_{2}-ben.

14. Legyen n pozitív egész. Hányszoros gyöke a ℤ_{2}[x]-beli x^{n} + 1 polinomnak az 1?

15. Osztható-e a ℂ[x]-beli 4x^{2000} + 4x^{1111} + 5x^{762} − 1 polinom x^{2} ± x + 1-gyel?

16. Tegyük fel, hogy a ℂ[x]-beli f és g(x) = x − c polinom együtthatói egész számok.

a) Mutassuk meg, hogy ha f-et maradékosan osztjuk g-vel, akkor a maradék is és a hányados is egész együtthatós.

b) Igaz-e a megfelelő állítás, ha g(x) = 3x + c alakú?

c) Milyen feltétellel garantálhatjuk, hogy két egész együtthatós polinom maradékos osztásakor a maradék és a hányados is biztosan egész együtthatós legyen?