Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Második alkalom (2003. február 25)

1. Végezzük el az alábbi műveleteket a komplex együtthatós polinomok körében, és állapítsuk meg az eredmény fokát.

a) (x^{3} + 3x^{2} + 2) − (x^{3} + 3x − 4).

b) (x^{2} + ix + 3)(x^{2} + i).

c) (1 + 2x^{2} + 4x^{4} + 8x^{6} + 16x^{8})(−1 + 2x^{2}).

d) (x − 1)(x − ε)(x − \overline{ε}), ahol ε primitív harmadik egységgyök.

2. Legyen f és g két polinom ℂ[x]-ben. Mi lehet f +g foka, ha deg(f) = 18 és deg(g) = 63? És akkor ha deg(f) = deg(g) = 63?

3. Osszuk el maradékosan az x^{3} − 2 polinomot 2x^{2} + 2x − 3-mal.

4. Legyen T test, és f ∈ T [x]. Hogyan állapítható meg, hogy f mit ad maradékul, ha maradékosan elosztjuk

a) x-szel;

b) 2x-szel;

c) (x + 1)-gyel?

5. Mi lesz a maradék, ha az x^{4} + x^{2} + 1 polinomot elosztjuk x^{2} + x + 1-gyel? A kapott eredményt indokoljuk meg számolás nélkül is.

6. Mi a maradék, ha x^{64} + x^{54} + x^{14} + 1-et osztjuk x^{2} − 1-gyel illetve x^{2} + 1-gyel?

7. Elvégezhető-e ℤ[x]-ben az x : 2 maradékos osztás?

8. Mely polinomoknak van inverzük ℝ[x]-ben? Általánosítható-e ez az állítás ℝ helyett tetszőleges gyűrűre? És testre?

9. Írjuk fel az összes polinomfüggvényt ℤ_{2} fölött. Nullosztómentes gyűrűt alkotnak-e ezek?

10. Legyen p páratlan prímszám, és tekintsük az alábbi, ℤ_{p} fölötti polinomokat. Melyekhez tartozik ugyanaz a polinomfüggvény?

x^{p} , x + 1 , x^{2} + 1 , x^{p} + 1 , x^{2} + x + 1 , x^{2p} + x^{p−1} + x .

11. Gyűrűt alkotnak-e ℂ[x] alábbi részhalmazai a polinomok szokásos összeadására és szorzására nézve?

a) A legfeljebb 2003 fokú polinomok (ideértve a nulla polinomot is, aminek nincs foka).

b) Az 1953 fokú polinomok.

c) A páros fokú polinomok (ideértve a nulla polinomot is, aminek nincs foka).

d) Az egész együtthatós polinomok.

e) Azok a polinomok, amelyek minden együtthatója nemnegatív valós szám.

f) Azok a polinomok, amelyek konstans tagja racionális szám.

12. Tegyük fel, hogy egy valós együtthatós polinom minden valós helyen pozitív értéket vesz föl. Következik-e ebből, hogy minden együtthatója nemnegatív?

13^{∗}. Tegyük fel, hogy az f ∈ ℂ[x] polinom minden racionális helyen racionális értéket vesz fel. Következik-e ebből, hogy f racionális együtthatós? Igaz-e az állítás, ha a „racionális” szó helyett mindenütt „egész” szerepel?