Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Első alkalom (2003. február 18)

1. Az alábbi struktúrák gyűrűk-e? Ha igen, kommutatívak-e, egységelemesek-e, nullosztómentesek-e, testek-e? A kommutatív gyűrűkben határozzuk meg az invertálható elemeket.

a) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a komplex számok összeadására és szorzására.

b) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℤ, a komplex számok összeadására és szorzására.

c) Az a + bi alakú számok, ahol a, b nemnegatív valós, a komplex számok összeadására és szorzására.

d) Az a+b\sqrt{3} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a komplex számok összeadására és szorzására.

e) Az a+b\sqrt[3]{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a komplex számok összeadására és szorzására.

f) A modulo 12 vett páros maradékok a modulo 12 összeadásra és szorzásra.

g) A modulo 13 vett páros maradékok a modulo 13 összeadásra és szorzásra.

h) Egy X halmaz összes részhalmaza, ahol az összeadás a szimmetrikus differencia képzése (tehát Y + Z elemei azok, melyek Y és Z közül pontosan egyben vannak benne), a szorzás pedig a metszetképzés.

2. Végezzük el a ℤ_{17} testben a 2/3 és az 5/12 osztásokat.

3. Határozzuk meg a ℤ_{10} gyűrű invertálható elemeit. Általánosítsuk a feladatot.

4. Gyűrűt ill. testet alkotnak-e azok a racionális számok (a racionális számok szokásos összeadására és szorzására) amelyek felírhatók olyan tört alakban, amelynek

a) a nevezője páratlan;

b) a nevezője 2-hatvány;

c) a számlálója páros, a nevezője pedig páratlan? Van-e egységelem, és (ha van, erre nézve) mely elemeknek létezik inverze?

5. Hány olyan elem lehet egy kommutatív testben, melynek négyzete az egységelem?

6^{∗}. Legyen ε primitív n-edik egységgyök. Mi lesz −ε rendje?

7^{∗}. Képzeljünk el egy doboz „Medve” sajtot abból a fajtából, amelyben hat darab sajt van. Tegyük fel, hogy a hatból három sajtot már megettünk, és a dobozban maradt három sajt is esetleg elmozdult egymáshoz képest úgy, hogy azért a „csúcsuk” továbbra is a doboz középpontjában van, és ívelt oldaluk illeszkedik a doboz kör alakú széléhez. Jelölje a sajtoknak a középpontban levőktől különböző csúcsait — az óramutató járásával megegyező irányban haladva — rendre A_{1} , A_{2} , B_{1} , B_{2} , C_{1} , C_{2} . Mutassuk meg, hogy az A_{2}B_{1} , B_{2}C_{1} , C_{2}A_{1} szakaszok felezőpontjai szabályos háromszöget határoznak meg.

8^{∗}. Legyenek z_{1}, z_{2}, z_{3} és z_{4} a komplex számsík páronként különböző pontjai.

a) Milyen számnak kell lennie a (z_{2} − z_{1})/(z_{3} − z_{2}) hányadosnak ahhoz, hogy z_{1}, z_{2} és z_{3} egy egyenesbe essen?

b) Milyen számnak kell lennie a z_{1}, z_{2}, z_{3} és z_{4} számok kettősviszonyának, azaz a

(z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}) = \frac{z_{3} − z_{1}}{z_{3} − z_{2}} / \frac{z_{4} − z_{1}}{z_{4} − z_{2}}

hányadosnak ahhoz, hogy a négy szám egy egyenesen vagy egy körön legyen?

c) Igazoljuk Ptolemaiosz tételét: ha egy négyszög oldalainak hossza a, b, c, d, átlóinak hossza e és f, akkor ac+bd ≥ ef, és egyenlőség pontosan akkor áll, ha ez húrnégyszög.