Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Második (2003. május 19) — megoldásvázlatok

1. Nem. Az f elem triviálisan hat a második normálosztón, az elsőn azonban nem, hiszen felcseréli a t és tf elemeket.

2. Igaz. Mindkét Sylow normálosztó: az 5-Sylow indexe 1 vagy 7 lehet, de 7 nem kongruens 1-gyel modulo 5 (2 pont), a 7-Sylow indexe ugyanígy nem lehet sem 5, sem 25 (2 pont). Tehát a csoport a két Sylowjának a direkt szorzata (1 pont), és mindkettő kommutatív, mert rendjük prím illetve prímnégyzet (1 pont).

3. Tekintsük azt a φ : D_{5} → Aut(N) homomorfizmust, ami a forgatásokon az identitás, a tükrözések mindegyikén pedig az az α automorfizmus, amely N két másodrendű elemét, mondjuk a-t és b-t megcseréli, a harmadikat, c-t pedig fixen hagyja (3 pont). (Könnyű meggondolni, hogy lényegében ez az egyfajta szemidirekt szorzat van csak, ahol H nem normálosztó). Ennek a szemidirekt szorzatnak a centruma kételemű lesz: az egységelemen kívül még a c elem (pontosabban a (c, 1) pár) van benne. Valóban, a c elemen nyilván H is és N is triviálisan hat. Tegyük fel, hogy az (n, h) pár benne van a centrumban. Legyen t ∈ D_{5} egy rögzített tükrözés. Ha az (1, t)-vel konjugáljuk az (n, h) elemet, akkor (α(n), tht^{−1}) adódik. Tehát α(n) = n és th = ht. Ez minden ilyen t-re igaz, vagyis h = 1 és n ∈ {1, c} (3 pont).

4. Az eredmény K. Valóban, [K, S_{4}] normálosztó S_{4}-ben, és része K-nak, de [K, S_{4}] ≠ 1, mert akkor K az S_{4} centrumában lenne. Mivel K minimális normálosztó, [K, S_{4}] = K.

5. Nincs. Legyen P a G csoport 5-Sylowja, akkor P normálosztó G-ben, mert indexe 4, és a 4 osztói közül csak az 1 kongruens 1-gyel modulo 5 (3 pont). Ekkor P tranzitív (hiszen G primitív), de akkor 10 osztaná P rendjét, ami 25 (3 pont).

6. Tudjuk, hogy ha G ≤ S_{X} egy Frobenius-csoport, akkor az N mag (reguláris) normálosztó, melynek elemszáma ugyanaz, mint X elemszáma, azaz a csoport foka. Legyen H az x ∈ X stabilizátora, ekkor G = HN és H ∩ N = {1}. Tanultuk, hogy ekkor H ugyanúgy hat X −{x}-en, mint N −{1}-en konjugálással. A 2-tranzitivitás miatt ez a hatás tranzitív, és így N − {1} minden elemének rendje ugyanaz a prím, vagyis |N| prímhatvány.