Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Második zárthelyi (2003. május 19)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, és a szerző neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. A D_{4} diédercsoport az {e, f^{2}, t, tf^{2}} illetve az {e, f, f^{2}, f^{3}} normálosztón is konjugálással hat. Ekvivalens-e ez a két hatás?

2. Igaz-e, hogy minden 175 rendű csoport kommutatív?

3. Legyen N a Klein-csoport, és H a D_{5} diédercsoport. Mutassuk meg, hogy létezik olyan N ⋊H szemidirekt szorzat, melyben H nem normálosztó, és számítsuk ki, hogy ennek hány elemű a centruma.

4. Legyen K az S_{4} szimmetrikus csoport egyetlen négyelemű normálosztója. Számítsuk ki a [K, S_{4}] kölcsönös kommutátorrészcsoportot.

5. Van-e olyan G ≤ S_{10} primitív permutációcsoport, melynek rendje 100?

6. Mutassuk meg, hogy 2-tranzitív (véges halmazon ható) Frobenius-cso-port foka mindig prímhatvány.