Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Első zárthelyi (2003. ápr. 9)

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szak, és a szerző neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont, a maximális pontszám minden feladatra 6 pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Legyen R a páratlan nevezőjű racionális törtek gyűrűje. Adjunk meg R felett egy szubdirekt irreducibilis modulust, ami nem egyszerű.

2. Mutassuk meg, hogy injektív modulus direkt összeadandója is injektív.

3. Legyen φ(x) = 2x mint ℤ^{+} → ℤ^{+} homomorfizmus. Léteznek-e olyan A, B Abel-csoportok, és olyan ψ : A → B injektív homomorfizmus, melyre φ ⊗ ψ nem injektív?

4. Számítsuk ki az A_{5}^{2} csoport normálosztóhálóját.

5. Legyen f(x) = (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 1). Határozzuk meg az S = Z_{2}[x]/(f) gyűrű radikálját, és állapítsuk meg, mely teljes mátrigyűrűk szerepelnek a radikál szerinti faktor felbontásában.

6. Legyenek U, V, W alterei egy véges dimenziós vektortérnek. Mutassuk meg, hogy

dim ((U + V) ∩ (U + W) ∩ (V + W)) − dim ((U ∩ V) + (U ∩ W) + (V ∩ W))

nemnegatív páros szám.