Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Kilencedik (utolsó) feladatsor (2003. május 7-14)

1. Hasson a G csoport tranzitívan az X halmazon, és legyen H az a ∈ X elem G-beli stabilizátora. Mutassuk meg, hogy a φ(gH) = g ∗ a leképezés jóldefiniált, és bijektív a H szerinti baloldali mellékosztályok halmaza és X között. Igazoljuk azt is, hogy G hatása a H szerinti bal mellékosztályok halmazán φ szerint ekvivalens az X-en való hatással.

2. Igazoljuk, hogy ha H és K részcsoportok egy G csoportban, akkor a G hatása a H szerinti bal mellékosztályokon akkor és csak akkor ekvivalens a K szerinti bal mellékosztályokon való hatással, ha H és K konjugáltak G-ben.

3. Mutassuk meg, hogy ha G tranzitívan hat az X halmazon, és b ∈ X, akkor tetszőleges k > 1 esetén G hatása X-en akkor és csak akkor k-tranzitív, ha b stabilizátorának hatása X − {b}-n k − 1-tranzitív. Mi a helyzet a szigorúan tranzitív hatással?

4. Mutassuk meg, hogy ha a G csoport k-tranzitívan hat egy n elemű halmazon, akkor n(n − 1) … (n − k + 1) osztója G rendjének, és itt oszthatóság helyett akkor és csak akkor áll egyenlőség, ha a hatás szigorúan k-tranzitív.

5. Igazoljuk, hogy ha V vektortér, akkor az eltolások egy N normálosztót alkotnak Aff(V)- ben, amely izomorf V additív csoportjával. Mutassuk meg azt is, hogy Aff(V) az N normálosztó és GL(V) szemidirekt szorzata, ahol egy M lineáris transzformáció e szemidirekt szorzatban konjugálással úgy hat N-en, ahogy szorzással hat a V vektortéren.

6. Milyen n és T esetén hat Aff(n, T) (szigorúan) 2-, 3-, 4-tranzitívan a T^{n} halmazon?

7. Igazoljuk tetszőleges T test esetén, hogy L(T) ≅ PGL(2, T), és hogy a T ∪{∞} projektív egyenesen L(T) szigorúan 3-tranzitívan hat. (L(T) a törtlineáris leképezések csoportja.)

8. Legyen X egy G csoport H részcsoportja szerinti bal mellékosztályainak a halmaza. Mutassuk meg, hogy az X permutációcsoport kongruenciái pontosan azok a partíciók, amelyek egy H ≤ K ≤ G részcsoportból adódnak a következőképpen: aH ∼ bH akkor és csak akkor, ha aH és bH ugyanazon K szerinti baloldali mellékosztályban vannak.

9. Igazoljuk, hogy primitív permutációcsoport nemtriviális normálosztója tranzitív.

10. Az alábbi permutációcsoportokról döntsük el, hogy primitívek-e (illetve mikor azok): A_{3}, A_{4}, az A_{4} csoport négyelemű normálosztója, a D_{n} csoport a szabályos n-szög csúcsain, a kocka szimmetriacsoportja a kocka csúcsain, élein és lapjain, tetszőleges G véges csoport automorfizmus-csoportja a G − {1} halmazon.

11. Bizonyítsuk be, hogy ha G egy legalább háromelemű halmazon hat, és csak triviális kongruenciája van, akkor primitív.

12. Mutassuk meg, hogy ha N minimális normálosztó a G ≤ S_{X} csoportban, és N Abelféle és tranzitív, akkor G primitív.

13^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha G primitív permutációcsoport egy legalább háromelemű, páros elemszámú halmazon, akkor |G| osztható néggyel.

Fordíts!

2 Matematikus gyakorlat (második évfolyam második félév) — kilencedik alkalom

14. Legyen N tranzitív normálosztója a G ≤ S_{X} csoportnak, és H az a ∈ X elem G-beli stabilizátora.

a) Mutassuk meg, hogy G = NH, és ha h ∈ H az N minden elemével felcserélhető, akkor h az egységelem.

b) Tegyük fel, hogy N reguláris. Legyen φ(n) = n(a). Igazoljuk, hogy φ bijekciót létesít N és X között, és H hatása X − {a}-n φ szerint ekvivalens a H konjugálással való hatásával N − {1}-en.

15. Mutassuk meg, hogy ha X véges, és G ≤ S_{X} feloldható, primitív részcsoport, akkor |X| prímhatvány, és G beágyazható Aff(n, p)-be. Speciálisan ha p prím, akkor S_{p} feloldható részcsoportjai pontosan Aff(1, p) részcsoportjai.

16. Legyen G egy k-tranzitív részcsoportja S_{n}-nek, amelyben van egy reguláris normálosztó. Mutassuk meg, hogy k ≤ 4, és ha k = 3, akkor G ≤ S_{4}.

17. Igazoljuk, hogy ha G ≤ S_{X} Frobenius-csoport, és H az a ∈ X stabilizátora, akkor g ∈ G−H esetén H ∩gHg^{−1} = {1}. Megfordítva, tegyük fel, hogy a G csoportnak H ilyen tulajdonságú részcsoportja. Mutassuk meg, hogy akkor G hatása H bal mellékosztályain Frobenius-csoportot ad, melynek N magja az egységelemen kívül azokból az elemekből áll, melyek H egyetlen konjugáltjában sincsenek benne, a stabilizátorok pedig pontosan H konjugáltjai lesznek (ezeket a Frobenius-csoport komplementumainak nevezzük).

18. Legyen G ≤ S_{X} Frobenius-csoport, melynek magja N ◁ G, és az a ∈ X pont stabilizátora H. Mutassuk meg, hogy G az N és a H szemidirekt szorzata. Igazoljuk azt is, hogy egyetlen olyan hatása létezik G-nek az N halmazon, ahol H elemei konjugálással, N elemei pedig balszorzással hatnak, és ez a hatás ekvivalens a G csoport X-en való hatásával.

19. Igazoljuk az alábbi csoportokról, hogy Frobenius-csoportok: S_{3}, D_{2n+1}, A_{4}, Aff(1, T), minden pq rendű nemkommutatív csoport (p, q prímek). Mi a mag és a komplementumok?

20. Mi a szükséges és elégséges feltétele annak, hogy az N ⋊_{φ} H szemidirekt szorzat olyan Frobenius-csoport legyen, melynek magja N, egyik komplementuma pedig H?

21. Igazoljuk, hogy minden nemtriviális, véges, tranzitív permutációcsoportban van fixpontmentes elem.

22. Bizonyítsuk be, hogy G/Z(G) izomorf G belső automorfizmusainak csoportjával.

23. Határozzuk meg az S_{n} csoport összes normálosztóját.

24. Bontsuk fel a ℂ[ℤ_{2}], ℂ[ℤ_{2}^{2}], ℂ[Q], ℝ[Q], ℂ[D_{4}], ℂ[S_{3}] csoportalgebrákat a Wedderburn-Artin tétel szerint (Q a nyolcelemű kvaterniócsoport).

25. Adjuk meg a D_{n} diédercsoport egy másodfokú irreducibilis karakterét.

26. Írjuk fel a ℤ_{2}, ℤ_{3}, ℤ_{2}^{2}, S_{3}, D_{4}, Q, A_{4}, S_{4}, D_{6} csoportok karaktertábláját.

27. Mutassuk meg, hogy ha g ∈ G másodrendű elem, akkor minden χ karakterre χ(g) egész szám, sőt χ(g) − χ(1) páros.

28. Legyen N ◁ G és tegyük fel, hogy N nem része a χ_{i} irreducibilis karakter magjának. Igazoljuk, hogy ∑_{g∈N} χ_{i}(g) = 0.

29. Igazoljuk, hogy G lineáris karaktereinek száma |G : G′|, magjaik metszete pedig G′.