Matematikus gyakorlat, második évfolyam, második félév Nyolcadik feladatsor (2003. április 30)

1. Bizonyítsuk be, hogy Aut(ℤ_{n}^{+}) ≅ ℤ_{n}^{×} és Aut((ℤ_{p}^{+})^{n}) ≅ GL(n, p).

2. Izomorfak-e egy „ismert” csoporttal az alábbi szemidirekt szorzatok? A következő jelölést használjuk: G = N⋊H, ahol H részcsoport, N normálosztó G-ben, és φ : H → Aut(N) az a leképezés, melyre φ(h)(n) = hnh^{−1}.

a) H = ℤ_{2}^{+}, N = ℤ_{n}^{+}, φ(1) minden elemet invertál.

b) H = ℤ_{2}^{+}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(1) az (ab) transzpozíció.

c) H = ℤ_{3}^{+}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(1) az (abc) ciklus.

d) H = D_{3}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(t) = (ab), φ(f) = (abc).

e) H = D_{3}, N = {e, a, b, c} a Klein-csoport, φ(t) = (ab), φ(f) = id.

f) H = ℤ_{4}^{+}, N = ℤ_{3}^{+}, φ(1) = (12).

3^{∗}. Mely véges csoportoknak van másodrendű fixpontmentes automorfizmusa? (Egy automorfizmus fixpontmentes, ha csak az egységelemet viszi önmagába).

4. Igazoljuk, hogy minden G = N ⋊H szemidirekt szorzat tényleg csoport, amelyben az Nnek megfelelő N^{∗} részhalmaz normálosztó, a H-nak megfelelő H^{∗} részhalmaz részcsoport, H^{∗} úgy hat konjugálással N^{∗}-on, ahogy a φ leképezés előírja, G = N^{∗}H^{∗}, és G/N^{∗} ≅ H^{∗}.

5. A G csoport egy N részcsoportját karakterisztikus részcsoportnak nevezzük, ha N invariáns G összes automorfizmusára, azaz g ∈ N és α ∈ Aut(G) esetén α(g) ∈ N. Bizonyítsuk be a következő állításokat.

a) Egy ciklikus csoport minden részcsoportja karakterisztikus.

b) Ha G-ben egy Sylow részcsoport normálosztó, akkor karakterisztikus is.

c) Ha A (additív) Abel-csoport, és n pozitív egész, akkor nA és A[n] karakterisztikus.

d) A centrum mindig karakterisztikus részcsoport.

e) Ha K és L karakterisztikus, akkor [K, L] is az.

f) G minden karakterisztikus részcsoportja normálosztó G-ben.

g) A „normálosztónak lenni” reláció általában nem tranzitív.

h) Ha N ◁ G, akkor N minden karakterisztikus részcsoportja normálosztó G-ben.

i) A „karakterisztikus részcsoportnak lenni” reláció tranzitív.

6. Bizonyítsuk be, hogy egy feloldható csoportban minden minimális normálosztó elemi Abel-féle p-csoport, azaz izomorf ℤ_{p}^{n}-nel valamilyen p prímre és n egészre.

7. Igazoljuk, hogy feloldható csoport maximális részcsoportjának indexe prímhatvány.

8^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha a G véges csoport karakterisztikusan egyszerű, azaz csak a két triviális karakterisztikus részcsoportja van, akkor G egymással izomorf egyszerű csoportok direkt szorzata.

9. Igazoljuk az [x, yz] = [x, y]y[x, z]y^{−1} azonosságot, és ebből azt, hogy ha K, L, N normálosztók egy csoportban, akkor [K, LN] = [K, L][K, N]. Igazoljuk, hogy [K, L] ⊆ K ∩ L.

10. Igaz-e, hogy (A × B)′ = A′ × B′?

11. Bizonyítsuk be, hogy a feloldhatóság bővítésre öröklődik (azaz, hogy ha G/N és N feloldható, akkor G is), és hogy két feloldható normálosztó szorzata is feloldható.